बहुपद ` y = ax ^ 2 + bx + c ` के आलेखों की आकृतियाँ चित्र में दी गयी है :
प्रत्येक आकृति में a, b और c के चिन्ह ज्ञात कीजिये :

Explanation

(i) हम निष्कर्ष निकलते है कि ` y = ax ^ 2 + bx + c ` नीचे की ओर खुलने वाला परवलय निरूपित करता है | इसलिए ` a lt 0 ` होगा | हम यह भी प्रेक्षण करते है के परवलय का शीर्ष प्रथम चतुर्थांश (qudrant ) में है |
` therefore - ( b) /( 2a ) gt 0 rArr - b lt 0 rArr b gt 0 " " [ because a lt 0 ] `
परवलय y = ` ax ^ 2 + bx + c ,` Y - अक्ष को बिंदु P पर प्रतिच्छेद करता है | y - अक्ष पर x = 0 होता है |
`x = 0 ` का मान समीकरण ` y = ax ^ 2 + bx + c ` में रखने पर हम y =c प्राप्त करते है |
अतः P के निर्देशांक ` (0, c ) ` है | चूँकि ` P, y ` - अक्ष की धनात्मक दिशा पर स्थित है | अतः ` c gt 0 `
` therefore a lt 0 , b gt 0 ` तथा ` c gt 0 `
(ii) दिया है कि ` y = ax ^ 2 + bx + c`, ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय निरूपित करता है | अतः ` a gt 0 ` है | परवलय का शीर्ष चौथे चतुर्थांश में है|
` therefore (-b ) /( 2a ) gt 0 rArr - b gt 0 " " [ because a gt 0 ] `
परवलय ` y = ax ^ 2 + bx + c, y ` - अक्ष को बिंदु P पर प्रतिच्छेद करता है | ` x = 0 `, अतः `y = ax ^ 2 + bx + c ` में ` x = 0 ` रखने पर हम `y = c ` प्राप्त करते है |
इसलिए , P के निर्देशांक ` (0, c) ` है | चूँकि P, OY' पर स्थित है | अतः `c lt 0`
` therefore a gt 0 , b lt 0 ` और ` c lt 0 `
(iii) स्पष्टतः `y = ax ^ 2 + bx + c ` ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय निरूपित करता है |
अतः ` a gt 0 ` है |
परवलय का शीर्ष OX पर स्थित है |
` therefore (-b ) / ( 2a ) gt 0 rArr - b gt 0 rArr b lt 0" " [ because a gt 0 ] `
परवलय ` y = ax ^ 2 + bx + c, ` y - अक्ष को बिंदु P पर प्रतिच्छेद करता है जो OY पर स्थित है | समीकरण ` y = ax^ 2 + bx + c ` में x = 0 रखने पर, हमे y =c प्राप्त होता है | अतः बिंदु P के निर्देशांक (0, c ) है | चूँकि P, OY अक्ष पर स्थित है |
` therefore c gt 0 `
` therefore a gt 0, b lt 0 ` और ` c gt 0 `
(iv) परवलय ` y = ax ^ 2 + bx + c ` नीचे की ओर खुलता है | अतः ` a lt 0 ` है |
परवलय का शीर्ष ` (( - b ) /(2a ) , ( -D) /( 4a ) ) `, OX' पर स्थित है |
` therefore ( - b ) /( 2a ) lt 0 rArr b lt 0 " " [because a lt 0 ] `
परवलय ` y = ax ^ 2 + bx + c ` y अक्ष को `P ( 0, c) ` पर प्रतिच्छेद करता है जो OY' पर है | अतः ` c lt 0 ` है |
` therefore a lt 0 , b lt 0 ` तथा ` c lt 0`
(v) दिया है कि परवलय ` y = ax ^ 2 + bx + c ` ऊपर की ओर खुलता है | अतः ` a gt 0 `
परवलय का शीर्ष ` (( - b ) /( 2a) , ( -D) /( 4a) ) ` प्रथम चतुर्थांश में स्थित है |
` therefore ( -b ) /( 2a ) gt 0 rArr ( b) / (2a ) lt 0 rArr b lt 0 " " [ because a gt 0 ] `
चूँकि ` P ( 0, c ), OY ` पर स्थित है |अतः ` c gt 0 `
` therefore a gt 0 , b lt 0 ` और ` c gt 0 `
(vi) स्पष्ट है कि ` a lt 0 ` है | चूँकि ` A (( - b )/( 2a ) , ( -D) /( 4a ) ) ` चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है |
` therefore (-b )/( 2a ) gt 0 rArr ( b ) /( 2a ) lt 0 rArr b gt 0 " " [ because a lt 0 ] `
चूँकि `P ( 0, c ) , OY ' ` पर स्थित है | अतः ` c lt 0 `
` a lt 0, b gt 0 ` तथा ` c lt 0 `