द्विघात बहुपद ` f( x ) = abx ^ 2 + ( b ^ 2 - ac ) x - bc`, के शून्यक ज्ञात कीजिये और इसके गुणांकों तथा शुन्यकों के बीच सम्बन्ध को सत्यापित कीजिये :

Explanation

दिया है :
` f ( x ) = abx ^ 2 + ( b ^ 2 - ac ) x -bc `
` rArr f ( x ) = abx ^ 2 + b ^ 2 x - acx - bc `
` rArr f (x ) = bx ( ax + b ) - c ( ax + b ) `
`rArr f ( x ) = (ax + b ) ( bx - c ) `
बहुपद ` f ( x ) ` के शून्यक समीकरण ` f( x) = 0 ` के हल है :
` therefore f ( x ) = 0 `
` rArr ( ax + b ) ( bx - c ) = 0 `
` rArr x = - ( b ) / ( a ) ` या ` x= ( c ) /( b ) `
अतः बहुपद ` f( x ) ` के शुनक ` alpha = - ( b )/( a ) ` और ` beta = ( c) /( b )` है |
` therefore alpha + beta = - ( b )/( a) + ( c) /(b ) = ( ac - b ^ 2 ) /( ab ) `....(i) और ` alpha beta = - ( b ) /( a ) xx ( c ) / ( b ) = - ( c) /( a ) " " `...(ii)
साथ ही, ` -(x "का गुणांक")/ ( x^ 3 "का गुणांक" ) = - ( ( b ^ 2 - ac ) /( ab ) ) = ( ac - b ^ 2 ) /( ab ) " " `...(iii)
तथा , `("अचर पद ")/(x^ 2 "का गुणांक ") = - (bc ) / (ab ) = - ( c ) /( a ) " " `...(iv)
अतः शुन्यकों का योग ` -(x "का गुणांक")/(x^ 2 "का गुणांक" ) " " ` [ (i) और (iii) से ]
तथा , शुन्यकों का गुणनफल = `("अचर पद")/(x^ 2 "का गुणांक" )" " ` [ (ii) और (iv)से ]