बहुपद ` f (x ) = x^ 3 - 5 x^ 2 - 2x + 24 ` के शून्यांक ज्ञात कीजिये यदि इसके दो शून्यांकों गुणनफल 12 है |

Explanation

माना `alpha, beta ` और `gamma ` बहुपद ` f ( x ) ` के शून्यक इस प्रकार है कि ` alpha beta = 12 ` है |
दिया है :
` because alpha + beta + gamma = - (- ( 5 ) /( 1 ) ) = 5 " " ` ...(i)
` alpha beta + beta gamma + gamma alpha = ( - 2 )/( 1 ) = - 2 " " `...(ii)
और, ` alpha beta gamma = - (24 ) / ( 1 ) = - 24 " " `...(iii)
` alpha beta = 12, ` का मान ` alpha beta gamma = - 24 ` में रखने पर,
` 12 gamma = - 24 rArr gamma = - (24 ) /( 12 ) = - 2 `
अब, ` alpha + beta + gamma = 5 `
` rArr alpha + beta - 2 = 5 " " [ because gamma = - 2 ] `
` rArr alpha + beta = 7 `
अब, ` ( alpha - beta ) ^ 2 = ( alpha + beta ) ^ 2 - 4 alpha beta `
`rArr ( alpha - beta ) ^ 2 = 7^ 2 - 4 xx 12" " [ because alpha + beta = 7 ` तथा ` alpha beta = 12] `
`rArr ( alpha - beta ) ^ 2 = 1 `
`rArr alpha - beta = pm 1 `
अतः हम पाते है कि
`alpha + beta = 7` और ` alpha - beta = 1 `
या , ` alpha + beta = 7 ` और ` alpha - beta = - 1 `
इन दोनों जोड़ो को हल करने पर, हम पाते है कि
` ( alpha = 4, beta =3 ) ` या , ` (alpha = 3, beta = 4 ) `
अतः दिए हुए बहुपद के शून्यक `3, 4` और -2 है |