विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके सिद्ध कीजिये कि बहुपद ` g (x) = x ^ 2 + 3x + 1 ` बहुपद ` f (x) = 3x ^ 4 + 5x ^ 3 - 7x ^ 2 + 2x + 2 ` का एक गुणनखण्ड है |

Explanation

यहाँ ` f (x) ` की घात = 4 तथा ` g (x) ` की घात = 2
अतः भागफल ` q (x) ` की घात 2 (=4 -2 ) तथा शेषफल ` r (x) ` की घात 1 या 1 से कम है |
माना ` q (x) = a x ^ 2 + bx + c ` और ` r (x) = p x + q `
विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर
` f ( x ) = g ( x) xx q (x) + r (x)`
` rArr 3x^ 4 + 5x ^ 3 - 7 x ^ 2 + 2x + 2 = ( ax ^ 2 + bx + c ) ( x ^ 2 + 3x + 1 ) + ( px + q ) `
` rArr 3x ^ 4 + 5x ^ 3 - 7 x ^ 2 + 2x + 2 = a x ^ 4 + ( 3a + b ) x ^ 3 + ( a + 3b + c ) x ^ 2 + ( b + 3c + p ) x + c + q `
दोनों पक्षों में x की विभिन्न घातों के गुणांकों की तुलना करने पर
` a = 3 " " [ x ^ 4 ` के गुणांकों की तुलना करने पर ]
` 3a + b = 5 " " [ x ^ 3 ` के गुणांकों की तुलना करने पर ]
` a + c + 3b = - 7 " "[ x^ 2 ` के गुणांकों की तुलना करने पर ]
` b + 3c + p = 2 " " ` [x के गुणांकों की तुलना करने पर ]
तथा ` c + q = 2 " " ` [अचर पदों की तुलना करने पर ]
इन समीकरणों को हल करने पर
` a = 3, b = - 4 , c = 2 , p = 0 ` तथा ` q = 0 `
` therefore ` भागफल ` q ( x ) = 3x^ 2 - 4x + 2 ` और शेशफलफ ` r (x) = 0 x + 0 = 0 `
चूँकि ` r (x) = 0`
अतः ` g ( x) ` बहुपद ` f (x) ` का गुणनखण्ड है |