सिद्ध करें कि
`(a+b)^(3)+(b+c)^(3)+(c+a)^(3)-3(a+b)(b+c)(c+a)=2(a^(3)+b^(3)+c^(3)-3abc)`

Explanation

माना a + b = x, b + c = y तथा c + a = z
`therefore (a+b)^(3)+(b+c)^(3)+(c+a)^(3)-3(a+b)(b+c)(c+a)`
`x^(3)+y^(3)+z^(3)-3xyz`
`(x+y+z)(x^(2)+y^(2)+z^(2)-xy-yz-zx)`
`={(a+b)+(b+c)+c(a+a)}{(a+b)^(2)+(b+c)^(2)+(c+a)^(2)-(a+b)(b+c)-(b+c)(c+a)-(c+a)(a+b)}`
`=2(a+b+c){a^(2)+b^(2)+2ab+b^(2)+c^(2)+2bc+c^(2)+2ca+a^(2)-(ab+ac+b^(2)+bc)-(bc+ba+c^(2)+ca)-(ca+cb+a^(2)+b^(2))}`
`=2(a+b+c)(a^(2)+b^(2)+c^(2)-ab-bc-ca)`
`=2(a^(3)+b^(3)+c^(3)-3abc)`