दिखाइये कि `(x-2)` बहुपद `f(x)=2x^(3)-3x^(2)-17x+30` का एक गुणनखण्ड है, तथा f(x) के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए ।

Explanation

गुणनखण्ड प्रमेय से `(x-2), f(x)` का एक गुणनखण्ड होगा यदि `f(2)=0`
चूँकि
`f(2)=2xx2^(3)-3xx2^(2)-17xx2+30=16-12-34+30=0`
`therefore" "(x-2),f(x)` का एक गुणनखण्ड है।
अब हम `f(x)=2x^(3)-3x^(2)-17x+30` को `(x-2)` से दिर्घभाजन विधि द्वारा विभाजित करते हैं जैसा कि नीचे स्पष्ट किया गया है

स्पष्टतः f(x) को `(x-2)` से विभाजित करने पर भागफल `2x^(2)+x-15` प्राप्त होता है। [
`therefore" "2x^(3)-3x^(2)-17x+30`
`" "=(x-2)(2x^(2)+x-15)`
`rArr" "=(x-2)(2x^(2)+6x-5x-15)" "`[ मध्य पद को विभक्त करने पर ]
`" "=(x-2){2x(x+3)-5(x+3)}=(x-2)(2x-5)(x+3)`
वैकल्पिक विधि - I : गुणनखण्ड प्रमेय से `x-2` बहुपद f(x) का एक गुणनखण्ड होगा, यदि `f(2)=0` है
चूँकि `f(2)=2xx2^(3)-3xx2^(2)-17xx2+30=16-12-34+30=0`
`therefore" "(x-2)` बहुपद f(x) का एक गुणनखण्ड है।
f(x) के अन्य गुणनखण्ड प्राप्त करने के लिए, आइए परिमेय मूल प्रमेय के उपयोग से हम बहुपद के अन्य परिमेय मूल ज्ञात करते हैं।
यदि `(b)/(c),f(x) ` का एक परिमेय मूल है, तो 'b' के मान अचर पद 30 के गुणनखण्ड तक ही सीमित रहेंगे । जो इस प्रकार हैं: `pm1, pm2, pm3, pm5, pm6, pm10, pm15, pm30` तथा 'c' के 2 के गुणनखण्डों तक ही सीमित रहेंगे । जो इस प्रकार हैं: `pm1, pm2` अतः f(x) के सम्भव परिमेय मूल इस प्रकार हैं।
`pm1, pm3, pm5, pm6, pm10,pm15, pm30,pm(1)/(2),pm(3)/(2), pm(5)/(2), pm(15)/(2).`
चूँकि `" "f(-3)=2xx(-3)^(3)-3xx(-3)^(2)-17xx(-3)+30=-54-27+51+30=0`
तथा,`" "f((5)/(2))=2xx((5)/(2))^(3)-3xx((5)/(2))^(2)-14((5)/(2))+30=(125)/(4)-(75)/(4)-(85)/(2)+30=0`
इसलिए `(x+3)` तथा `(x-(5)/(2)),f(x)` के गुणनखण्ड हैं| यह दिया है कि `(x-2),f(x)` का एक गुणनखण्ड है। अतः`(x-2),(x+3)` तथा `(x-(5)/(2)),f(x)` के गुणनखण्ड हैं।
स्पष्टतः f(x) के गुणनखण्डों की संख्या बहुपद की घात के समान है।
`therefore" "f(x)=k(x-2)(x+3)(x-(5)/(2))`
अथवा`" "2x^(3)-3x^(2)-17x+30=k(x-2)(x+3)(x-(5)/(2))" ...(i)"`
समीकरण (i) में रk = 2 खने पर
`2-3-17+30=kxx(-1)xx4xx(-(3)/(2)) rArr 12=6k rArr k=2`
समीकरण (i) में k = 2 रखने पर
`2x^(3)-3x^(2)-17x+30=2(x-2)(x+3)(x-(5)/(2))`
`rArr" "2x^(3)-3x^(2)-17x+30=(x-2)(x+3)(2x-5)`
वैकल्पिक विधि 2 : गुणनखण्ड प्रमेय `(x-2)` से बहुपद f(x) का एक गुणनखण्ड होगा यदि `f(2)=0` है
चूँकि
`f(2)=2xx2^(3)-3xx2^(2)+7xx2+30=16-12-34+30=0`
`therefore" "(x-2)` बहुपद f(x) का एक गुणनखण्ड है।
अब, `" "2x^(3)-3x^(2)-17x+30`
`=2x^(2)(x-2)+x(x-2)-15(x-2)" "` [इस चरण को सावधानी से समझें]
`=(x-2){2x^(2)+x-15}`
`=(x-2){2x^(2)+6x-5x-15}`
`=(x-2){2x(x+3)-5(x+3)}`
`=(x-2){2x(x+3)-5(x+3)}`
`=(x-2)(x+3)(2x-5)`