चित्र में , P समान्तर चतुर्भुज ABCD के अभ्यन्तर में स्थित कोई बिंदु है दर्शाइए कि
(i) `ar(DeltaAPB)+ar(DeltaPCD)=(1)/(2)ar("।।"^(gm)ABCD)`
(ii) `ar(DeltaAPD)+ar(DeltaPBC)=ar(DeltaAPB)+ar(DeltaPCD)`

Explanation

(i) P बिंदु से होकर AB के समान्तर एक रेखा खीचिए जो कि AD और BC को क्रमशः E और F पर काटती है।
चूँकि `Delta ABP ` और समान्तर चतुर्भुज ABFE एक ही आधार AB और एक समान्तर रेखाओं AB तथा EF के बीच स्थित है।
`therefore ar(DeltaABP)=(1)/(2)ar("।।"^(gm) ABFE) " " ` ...(i)
इसी प्रकार, `DeltaDCP ` और समान्तर चतुर्भुज DCFE एक ही आधार DC और एक ही समान्तर रेखाओं DC और EF के बीच स्थित है।
`therefore ar(DeltaDCP)=(1)/(2)ar("।।"^(gm)DCFE) " " `... (ii)
(i) तथा (ii) के संगत पक्षों को
`ar(DeltaABP)+ar(DeltaDCP)=(1)/(2)ar("।।"^(gm)ABFE)+(1)/(2)ar("।।"^(gm)DCFE)`
`rArr ar(DeltaABP)+ar(DeltaDCP)=(1)/(2){ar("।।"^(gm)ABFE)+ar("।।"^(gm)DCFE)}`
`rArr ar(DeltaABP)+ar(DeltaDCP)=(1)/(2)ar("।।"^(gm) ABCD)`
(ii) बिंदु P से होकर AB के समान्तर एक रेखा LM खींचिए।
चूँकि `DeltaAPD` और समान्तर चतुर्भुज ALMD एक ही आधार AB और एक ही समान्तर रेखाओं AD और LM के बीच स्थित है।
`therefore ar(DeltaAPD)=(1)/(2)ar("।।"^(gm)ALMD) " " ` ...(iii)
इसी प्रकार,
`ar(Delta PBC) = (1)/(2)ar("।।"^(gm)BLMC) " "` ...(iv)
(iii) तथा (iv) के संगत पक्षों को जोड़ने पर,
`ar(DeltaAPD)+ar(DeltaPBC)=(1)/(2)ar("।।"^(gm)ALMD)+(1)/(2)ar("।।"^(gm)BLMC)`
`=(1)/(2){ar("।।"^(gm)ALMD)+ar("।।"^(gm)BLMC)}`
`=(1)/(2) ar("।।"^(gm) ABCD)`
किन्तु `(1)/(2) ar(ABCD)=ar(DeltaDBC)=ar(DeltaABP)+ar(DeltaDCP) " " `[ऊपर सत्यापित]
`therefore ar(DeltaAPD)+ar(DeltaDBC)=ar(DeltaAPB) +ar(DeltaPCD)`