`DeltaABC ` में, भुजाओं AB तथा BC के मध्य-बिंदु क्रमशः P तथा Q है और AP का मध्य-बिंदु R है। सिद्ध कीजिए कि
`(i) ar(DeltaPBQ)=ar(DeltaARC) " "(ii) ar(DeltaPRQ)=(1)/(2) ar(DeltaARC)`
`(iii) ar(DeltaRQC)=(3)/(8) ar(DeltaABC)`

Explanation

हम जानते है कि किसी त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
चूँकि `CR , Delta CAP ` की एक माध्यिका है।
`therefore ar(DeltaCRA)=(1)/(2)ar(DeltaCAP) " " ` ...( i)
`CP,DeltaCAB` की एक माध्यिका है।
`therefore ar(DeltaCAP)=Delta(CPB) " " ` ...(ii)
(i ) तथा (ii ) से हम स्पष्ट है कि
`therefore ar(DeltaARC)=(1)/(2)ar(DeltaCPB) " "` ...(iii)
चूँकि `PQ,DeltaPBC` के एक माध्यिका है ।
`therefore ar(DeltaCPB)=2ar(DeltaPBQ) " " ` ...(iv)
(iii ) तथा (iv ) से,
`therefore ar(DeltaARC)=ar(DeltaPBQ) " "` ...(v)
(ii ) चूँकि QP और QR क्रमशः `DeltaQAB` और QAP के माध्यिकाएँ है।
`therefore ar(DeltaQAP)=ar(DeltaQBP) " "` ...(vi)
तथा `ar(DeltaQAP)=2ar(DeltaQRP) " "`...(vii)
(vi ) तथा (vii ) से
`ar(DeltaPRQ)=(1)/(2)ar(DeltaPBQ) " "` ...(viii)
(v ) तथा (viii ) से,
`ar(DeltaPRQ)=(1)/(2)(DeltaARC) " " ` ...(viii)
(iii ) चूँकि `CR, DeltaCAP` की एक माध्यिका है।
`therefore ar(DeltaARC)=(1)/(2)ar(DeltaCAP)=(1)/(2){(1)/(2)ar(ABC)}=(1)/(4)ar(DeltaABC) " "` ...(ix)
चूँकि `RQ,DeltaRBC` की एक माध्यिका है।
`therefore ar(DeltaRQC)=(1)/(2)ar(DeltaRBC)`
`=(1)/(2){ar(DeltaABC)-ar(DeltaARC)}`
`=(1)/(2){ar(DeltaABC)-(1)/(4)ar(DeltaABC)} " "`[(ix) से]
`=(3)/(4)ar(DeltaABC)`