`p/q(q!=0)` के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए जहां `p` और `q` पूर्णांक है जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है और जिनका सांत दशमलव निरूपण (प्रसार) है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि `q` को कौन –सा गुण अवश्य संतुष्ट करना चाहिए?

Explanation

हम `p/q(q!=0)` के रूप के निम्नलिखित परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार लिखते हैं।
(i) `3/20` (ii) `27/40` (iii) `13/25`
`3/20=3/(2^(2)xx5)=(3xx5)/(2^(2)xx5^(2))=15/((2xx5)^(2))=15/(10^(2))=0.15`
`27/40=27/(2^(3)xx5)=(27xx5^(2))/(2^(3)xx5^(3))=(27xx25)/((2xx5)^(3))=675/(10^(3))=0.675`
`13/25=13/(5^(2))=(13xx2^(2))/(5^(2)xx2^(2))=52/(5xx2)^(2)0=52/(10^(2))=0.52`
हम अवलोकन करते हैं कि लिए गए उपर्युक्त संख्याओं के दशमल प्रसार सांत (सीमित) हैं। साथ ही हम यह भी देखते हैं ली गई तीनों संख्याओं को हर `2^(m)xx5^(n)` के रूप का है अर्थात हर में 2 या 5 को छोड़कर कोई अन्य रूढ़ गुणनखण्ड नहीं है।
अतः परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण सांत (अवसानी) होगा यदि हर का रूढ़ गुणनखण्ड 2 और 5 के अलावे कोई अन्य संख्या न हो।