साबित करें कि समकोण त्रिभुज में कर्ण के मध्य बिन्दु को समकोण शीर्ष से मिलाने वाली रेखाखण्ड की लम्बाई कर्ण की आधी होती है |

Explanation

माना कि ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें `angleC=90^(@)` और कर्ण AB का मध्य बिंदु M है |
C को M से मिलाया तथा CM को D तक बढ़ाया ताकि CM = MD BD को मिलाया |

प्रमाण : (i) `DeltaAMC` और `DeltaBMD` में
`AM=MB" "["चूँकि M, AB का मध्य बिन्दु है"]`
`CM=DM" "["बनावट से"]`
`angleAMC=agleBMD" "["शीर्षाभिमुख कोण"]`
`:." "DeltaAMC~=DeltaBMD" "["S-A-S सर्वांगसमता"]`
(ii) चूँकि `DeltaAMC~=DeltaBMD`
`:." "AC=DB" "[CPCT]" "...(i)`
और `" "angleCAM=angleDBM" "[CPCT]" "...(ii)`
(ii) के दोनों तरफ `angleMBC` जोड़ने पर मिलता है,
`angleCAM+angleMBC=angleDBM+angleMBC`
या `angleCAB+angleABC=angleDBC`
या, `" "90^(@)=angleDBC" "[because" समकोण "DeltaABC" में "angleC=90^(@)]`
अत: `" "angleDBC=90^(@)`
(iii) अब `" "DeltaDBC` और `DeltaACB` में
`BD=AC" "["(i) से"]`
`angleDBC=angleACB" "["प्रत्येक "90^(@)" है"]`
और `" "BC=BC" "["उभयनिष्ठ"]`
`:." "DeltaDBC~=DeltaACB" "["SAS सर्वांगसमता"]`
(iv) चूँकि `" "DeltaDBC~=DeltaACB`
`:." "DC=AB" "[CPCT]`
या, `" "2" CM"=AB`
या, `" "CM=(1)/(2)AB" ""यही साबित करना था "|`