एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, जिसमें AB = AC है, `angleB` और `angleC` के समद्विभाजक परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं | A और O को जोड़िए | दर्शाइए कि
(i) `OB=OC`
(ii) AO कोण A को समद्विभाजित करता है

Explanation

प्रमाण : माना `angleB` का कोण समद्विभाजक BE है और `angleC` का कोण समद्विभाजक CF है जो O बिन्दु पर मिलते हैं |

`AB=AC" "["दिया है"]`
`:." "angleB=angleC" "["समान भुजाओं के सामने का कोण"]`
`implies(1)/(2)angleB=(1)/(2)angleCimpliesangleOBC=angleOCB" "[because OB, angleB" का तथा "OC, angleC" का कोण समद्विभाजक है"]`
अब `DeltaOBC` में, `" "angleOBC=angleOCB" "...(i)`
`:." "OC=OB" "["समान भुजाओं के सामने का कोण"]`
अत: (i) सिद्ध हो गया |
(ii) `" "DeltaECB" तथा "DeltaFBC` में,
`angleECB=angleFBC" "[because angleB=angleC]`
`angleEBC=angleFBC" "["समीकरण (i) से"]`
तथा `" "BC=BC" "["उभयनिष्ठ भुजा"]`
`:." "DeltaECB~=DeltaFBC." "["SAS नियम"]`
`:." "BE=CF" तथा "EC=FB" "["सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग"]`
लेकिन `" "AB=AC" "["दिया है"]`
`:." "AB-FB=AC-EC:.AF=AE" "...(ii)`
पुन: `" "BE=CF" तथा "OB=OC" "["यह (i) में सिद्ध किया जा चुका है"]`
`:." "BE-OB=CF-OC:.OE=OF" "...(iii)`
अब `" "DeltaAFO" और "DeltaAEO` में,
`AF=AE." "["समीकरण (ii) से"]`
`OF=OE." "["समीकरण (iii) से"]`
तथा `" "AO=AO" "["उभयनिष्ठ भुजा"]`
`:." SSS सर्वांगसमता प्रमेय से "DeltaAFO~=DeltaAEO`
`:." "angleOAF=angleOAE" "["सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग"]`
अत: `OA, angleFAE` अर्थात `angleBAC` का कोण समद्विभाजक है |