AB एक रेखाखंड है तथा बिन्दु P और Q इस रेखाखंड AB के विपरीत ओर इस प्रकार स्थित हैं कि इनमें से प्रत्येक A और B से समदूरस्थ है (देखिए चित्र) | दर्शाइए कि रेखा PQ, रेखाखंड AB का लम्ब समद्विभाजक है |

Explanation

दिया है : PA = PB और QA = QB
सिद्ध करना है : PQ रेखाखंड AB का लम्ब समद्विभाजक है |
प्रमाण : माना कि रेखा PQ रेखाखंड AB को C पर काटती है |
अब `" "DeltaPAQ" और "DeltaPBQ` में,
`AQ=BQ" "["दिया है"]`
`AP=BP" "["दिया है"]`
`PQ=PQ" "["उभयनिष्ठ"]`
अत: `" "DeltaPAQ~=DeltaPBQ" "["SSS सर्वांगसमता से"]`
`:." "angleAPQ=angleBPQ" "[CPCT]" "...(i)`
पुन: `" "DeltaPAC" और "DeltaPBC` में
`AP=BP" "["दिया है"]`
`angleAPC=angleBPC" "[because" (i) से "angleAPQ=angleBPQ]`
`PC=PC" "["उभयनिष्ठ"]`
अत: `" "DeltaPAC~=DeltaPBC" "["SAS सर्वांगसमता से"]`
`:." "AC=BC" "[CPCT]" "...(ii)`
तथा `" "angleACP=angleBCP" "[CPCT]`
लेकिन `" "angleACP+angleBCP=180^(@)" "["रैखिक युग्म"]`
`:." "2angleACP=180^(@)" "[because angleBCP=angleACP]`
`implies" "angleACP=90^(@)" "...(iii)`
(ii) और (iii) से, स्पष्ट है कि रेखा PQ, रेखाखंड AB का लम्ब समद्विभाजक है |