एक त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AM क्रमश: एक-दूसरे त्रिभुज की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PN के बराबर हैं (देखिए चित्र) | दर्शाइए कि
(i) `DeltaABM~=DeltaPQN` (ii) `DeltaABC~=DeltaPQR`

Explanation

दिया है :
ABC तथा PQR दो त्रिभुज है जिनमें
`AB=PQ`
`BC=QR`
तथा माध्यिका AM = माध्यिका PN
सिद्ध करना है कि : (i) `DeltaABM~=DeltaPQN`
(ii) `DeltaABC~=DeltaPQR`
प्रमाण : (i)`" "DeltaABM" तथा "DeltaPQN` में
`AB=PQ" "["दिया हैं"]`
`BM=QN" ""["because BC=QR:.(1)/(2)BC=(1)/(2)QR"]"`
`AM=PN" "["दिया हैं"]`
(i) अत: `" "DeltaABM~=DeltaPQN" "["SSS सर्वांगसमता"]`
अब `" "DeltaABM~=DeltaPQN`
`:." "angleAMB=anglePNQ" "...(i)`
लेकिन `" "angleAMB+angleAMC=anglePNQ+anglePNR=180^(@)" "["रैखिक युग्म"]" "...(ii)`
(ii) में से (i) को घटाने पर,
`angleAMC=anglePNR" "...(iii)`
(ii) `" "DeltaAMC" तथा "DeltaPMR` में
`AM=PN" "["दिया है"]`
`MC=NR" ""["because BC=QR:.(BC)/(2)=(QR)/(2)"]"`
तथा `" "angleAMC=anglePNR" "["(iii) से"]`
अत: `" "DeltaAMC~=DeltaPNR" "["SAS सर्वांगसमता से"]`
`:." "AC=PR" "["CP CD"]" "...(iv)`
अब `" "DeltaABC" तथा "DeltaPQR` में,
`AB=PQ" "["दिया है"]`
`BC=QR" "["दिया है"]`
तथा `" "AC=PR" "["(iv) से"]`
अत: `" "DeltaABC~=DeltaPQR" "["SSS सर्वांगसमता"]`