दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और परस्पर लंबवत समद्विभाजित करें तो वह एक वर्ग होता है।

Explanation

दिया है: ABCD एक चतुर्भुज है जिसके कर्ण AC और BD समान है।
अर्थात `AC=BD` और वे परस्पर एक-दूसरे को समकोण
पर `H` बिंदु पर काटते हैं जिससे कि
`AH=HC,BH=HD` तथा `/_AHB=/_CHB=/_CHD=/_AHD=90^(@)`
सिद्ध करना है: `ABCD` एक वर्ग है।
अर्थात `AB=BC+CD=DA` तथा चतुर्भुज ABCD का कोई का कोण `=90^(@)`
प्रमाणः `DeltaAHB` और `DeltaCHD` में
`AH=HC,BH=HD` [ दिया है]
`/_AHB=/_CHD` [प्रत्येक `=90^(@)`]
`DeltaAHB~=DeltaCHD` [SAS सर्वांगसमता नियम से]
इस प्रकार `AB=DC` और `/_HAB=/_HCD` [एकांतर कोण]
जिससके कि `AB||DC`
अतः `AB=DC` तथा `AB||DC` इसलिए ABCD एक समांतर चतुर्भुज होगा।
परिणामस्वरूप `AD=BC` तथा `AD||BC`
फिर इसी तरह यह दिखलाया जा सकता है कि
`DeltaAHD~=DeltaAHB`
`:.AD=AB`
अतः `AB=AD=BC=DC`
`:.AB=BC=CD=DA`…..i
अतः ABCD एकसमचतुर्भुज है।
अब हमें यह दिखाना होगा कि समचतुर्भुज ABCD का कोई एक कोण `90^(@)` होगा तभी तो यह वर्ग होगा।
इसलि कर्ण `AC=` कर्ण `BD=` होने की महत्ता है।
अब `DeltaABC` और `DeltaBAD` में
कर्ण `AC=` कर्ण BD [दिया है]
`AB=AB` [उभयनिष्ठ भुजा]
`BC=AD` [ `:'ABCD` एक सम चतुर्भुज सिद्ध किया जा चुका है]
`:.DeltaABC~=DeltaBAD`[SSS सर्वांगसमता नियत से]
`:./_ABC=/_BAD`………ii
लेकिन `BC||AD`
`:./_ABC+/_BAD=180^(@)`
[तिर्यक रेखा AB के एक ही ओर के अंतः कोणों का योग]
या `/_BAD+/_BAD=180^(@)` [समीकरण (ii) से]
या `2/_BAD=180^(@)`
`:./_BAD=90^(@)`
अर्थात `/_BAD=90^(@)`
अब चतुर्भुज ABCD में `AB=BC=CD=DA` तथा `/_A=90^(@)`
अतः ABCD एक वर्ग है।