ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोणों A और C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि (i) `ABCD` का वर्ग है (ii) विकर्ण BD दोनों कोणों B औ D को समद्विभाजित करता है।

Explanation

प्रमाणः `/_A=/_C`
`:.1/2/_A=1/2/_C`
`implies/_DAC=/_DCA`……..i
अब `DeltaDAC` में `/_DAC=/_DCA`
`:.DA=DC`………..ii
[समान कोण् के सामने की भुजाएं बराबर होती हैं]
इसी प्रकार यह दिखाया जा सकता है कि `AB=BC`
चूंकि ABCD एक आयत है
`:.AB=DC` तथा `AD=BC`……..iii
अतः समीकरण (ii) और (iii) से
`AB=BC=AD=DC`
अर्थात `AB=BC=CD=DA`
साथ ही आयत `ABCD` के सभी कोण समकोण है।
`:.ABCD` एक वर्ग है।
इस प्रकार (i) सिद्ध हो जाता है।
फिर चूंकि ABCD एक वर्ग है
`:.AB=BC=CD=DA`
`DeltaABD` में `AB=AD`
`/_ABD=/_ADB`……..i
लेकिन `/_ADB=/_DBC` [एकांतर कोण `:'AD||BC’]……..ii
`:./_ABD=/_DBC`
अर्थात `BD,/_B` को समद्विभाजित करता है।
इसी प्रकार, यह दिखाया जा सकता है कि `BD,/_D` को समद्विभाजित करता है।
अतः कर्ण `BD,/_B,/_D` को समद्विभाजित करता है।