समांतर चतुभु्र्ज ABCD का विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है दर्शाइए कि
(i) यह `/_C` को समद्विभाजित करता है।
(ii) ABCD एक समचतुर्भुज।

Explanation

दिया है: एक समांतर चतुर्भुज ABCD
जिसका कर्ण `AC,/_A` को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है: कर्ण `AC,/_C` को समद्विभाजित करता है।

प्रमाणः (i)`AD||BC`
`:./_DAC=/_ACB`[एकांतर कोण] ……………I
फिर `:'AB||DC`
`:./_CAB=/_ACD` [एकांतर कोण]…………ii
लेकिन `/_DAC=/_CAB`…….iii
`:'AC,/_A` को समद्विभाजित करता है।
`:.` समीकरण (i) और (ii) से
`/_ACB=/_ACD`
अतः कण `AC,/_C` को भी समद्विभाजित करता है।
(ii) `/_A=/_C`
`:'` समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
`:.1/2 /_A=1/2 /_C`
अर्थात `/_DAC=/_DCA`
अब `DeltaADC` में `/_DAC=/_DCA`
`:.AD=DC`……………i.
[समान कोण के सामने की भुजा बराबर होती है]
फिर `DeltaABC` और `DeltaADC` में
`/_CAB=/_ACD` [एकांतर कोण क्योंकि `AB||CD`]
`/_ACB=/_CAD` [एकांतर कोण क्योंकि `BC||AD`]
`AC=AC` [उभ्यनिष्ठ भुजा]
`:.DeltaABC~=DeltaCDA` [ASA सर्वांगसमता नियम के अनुसार]
`:.AB=CD` तथा `BC=AD`…….ii
इसलिए समीकरण (i) और (ii) से
`AB=CD=AD=BC`
अतः `AB=BC=CD=AD`
`:.ABCD` एक समचतुर्भुज है।