समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित है कि `DP=BQ` है । दर्शाइए कि
(i) `DeltaAPD~=CQB` (ii) `AP=CQ`
(iii) `DeltaAQB~=DeltaCPD` (iv) `AQ=CP`
(v) `APCQ` एक समांतर चतुर्भुज है।

Explanation

AC को मिलायें जो BD को O बिंदु पर काटता है।
अब `OP=OD-DP`
तथा `OQ=OB-BQ`
लेकिन `OB=OD`
[ `:'` समांतर चतुर्भुज के कर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।]
तथा `DP=BQ` [दिया हुआ है]
`:.OP=OQ`
अतः चतुर्भुज APCQ से `OP=OQ` तथा `OA=OC`
अर्थात चतुर्भुज APCQ के कर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
`:.` चतुर्भुज APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।
अब `DeltaAPD` तथा `DeltaCQB` में `AD=BC`
`AP=QC` [`:'APCQ` एक समांतर चतुर्भुज है]
`DP=BQ` [दिया है]
`:.DeltaAPD~=DeltaCQB` [SSS सर्वांगसमता नियम से]
`DeltaAQB` तथा `DeltaCPD` में `AB=DC`
`AQ=PC` [`:' APCQ` एक समांतर चतुर्भुज है]
`BQ=DP` [दिया है]
`:.DeltaAQB~=DeltaCPD` [SSS सर्वांगसमता से]