ABCD एक समलंब हैं जिसमें `AB||DC` और `AD=BC` है। दर्शाइए‌ कि
(i) `/_A=/_B`
(ii) `/_C=/_D`
(iii) `DeltaABC=DeltaBAD`
(iv) विकर्ण `AC=` विकर्ण BD है।

Explanation

बनावटः AB को बढ़ाएं और C से होकर DA के समांतर एक रेखा खींचे जो बढ़ी हुई भुजा AB को E पर प्रतिच्छेद करें।
अब चूंकि `DC||AE` और `AD||CE`
`:.ADCE` एक समांतर चतुर्भुज हुआ।
अतः `AD=CE`[समांतर चतुर्भुज के सम्मुख भुजाएं बराबर होती है]
`DC=AE`
`:'AD=BC`
`:.BC=CE` [दिया है]
अब `DeltaBCE` में `BC=CE`
`:./_CBE=/_CEB` [समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
फिर `:'AD||EC` और तिर्यक रेखा `AE` उनसे मिलती है
`:./_A+/_E=180^(@)`
या ` /_A+/_CBE=180^(@) [ :'/_E=/_CBE]`
या `/_A+(180^(@)+/_ABC)=180^(@)` [रैखिक युग्म]
या `/_A-/_ABC=0`
या `/_A=/_ABC`
अतः `/_A=/_B`………I
इस प्रकार (i) सिद्ध हो जाता है।
फिर `AB||DC` और तिर्यक रेखा AD उनसे मिलती है।
`:./_A+/_D=180^(@)` [अंतः कोणों का योग]
इसी प्रकार `/_B+/_C+180^(@)`
अतः `/_A+/_D+/_B+/_C` [प्रत्येक `=180^(@)`]
लेकिन `/_A=/_B` [यह (i) में सिद्ध किया जा चुका है]
`:./_D=/_C`
इस प्रकार (ii) सिद्ध हो जाता है।
(iii) `DeltaABC` और `DeltaBAD` में
`/_B=/_A` [यह (i) में सिद्ध किया जा चुका है]
`AB=AB` [उभयनिष्ठ भुजा]
`BC=AD` [दिया हुआ है]
अतः `DeltaABC~=DeltaBAD` [SAS सर्वांगसमता से]
(iv) चूंकि `DeltaABC~=DeltaBAD`
`:.AC=BD` [CPCT]