AB तथा CD दो समांतर रेखाएं हैं। एक तिय्रक रेखा `l` रेखा AB को `X` पर तथा रेखा CD को Y पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध करें कि अंतः कोणों के समद्विभाजक एक आयत बनाते हैं।

Explanation

माना कि `AB||CD` तथा तिर्यक रेखा
`l,AB` को `X` तथा CD को Y बिंदु
पर प्रतिच्छेद करती है और
`/_1=/_2,/_3=/_4,/_5=/_6` तथा `/_7=/_8`
सिद्ध करना है: `PXOY` एक आयत है।
प्रमाणः `:'AB||CD`
`:./_1+/_2=/_3+/_4` [एकांतर अंतःकोण]
या `/_2+/_2=/_3+/_3` [`:'/_1=/_2` और `/_3=/_4`]
या `2/_2=2/_3`
`:./_2=/_3` औ ये एकांतर अंतः कोण हैं।
`:.PX||YO`
इसी प्रकार हम साबित कर सकते हैं कि `PY||XQ`
`:.PXQY` एक समांतर चतुर्भुज है। [परिभाषा से]
पुनः `AB||CD`
`:.(/_5+/_6)+(/_3+/_5)=180^(@)` [एक ही ओर के अंतः कोण]
या `(/_6+/_6)+(/_3+/_3)=180^(@)` `[ :' /_5=/_6,/_3=/_4]`
या `2(/_6+/_3)=180^(@)`
`:./_6+/_3=90^(@)`……..i
अब `DeltaXPY` में
`/_6+/_3+/_XPY=180^(@)`
`implies90^(@)+/_XPY=180^(@)` [(i) से]
`:./_XPY=180^(@)-90^(@)=90^(@)`
इस प्रकार `||^(gm)PXOY` का एक कोण समकोण है।
अतः `PXOY` एक आयत हैं।