चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है और `P,Q,R,S` क्रमशः AB,BC,CD,DA के मध्य बिंदु हैं सिद्ध करें कि PQRS एक आयत है।

Explanation

माना कि ABCD एक समचतुर्भुज है।
P,Q,R,S क्रमशः AB,BC,CD और DA के मध्य बिंदु है।
सिद्ध करना है: PQRS एक आयत है।
बनावटः AC,BD,PR,SQ को मिलाया।
प्रमाण: `DeltaABD` में AB का मध्य बिंदु P तथा AD का मध्य बिंदु `S` है।
`:.PS=1/2BD` और `PS||BD` ……..i
`DeltaBCD` में BC का मध्य बिंदु Q तथा CD का मध्य बिंदु `R` है।
`:.QR=1/2BD` और`QR||BD`……..ii
(i) तथा (ii) से हमें मिलता है
`PS=QR` तथा `PS||QR`……………iii
इसी प्रकार हम साबित कर सकते है कि `PQ=SR` तथा `PQ||SR` ……….(iv)
(iii) या (iv) से PQRS एक समांतर चतुर्भुज है…………….v
`:'ABCD` एक समचतुर्भुज है। `:.AD=BC`
या `1/2AD=1/2BC` या `AS=BQ`
अब `AS=BQ` और `AS||BQ :.ABQS` एक समांतर चतुर्भुज है।
`AB=SQ` ………………vi
इसी प्रकार साबित कर सकते हैं `BC=PR`…….vii
`:'AB=BC`…….viii
vi, vii तथा viii से `SQ=PR`
अब समांतर चतुर्भुज PQRS के विकर्ण `SQ=` विकर्ण PR
`:.||^(gm)PQRS` एक आयत है।