दिए गए चित्र में P समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु है |दर्शाइए की
`(i) ar (APB) +ar ( PCD) =(1)/(2) ar(ABCD) `
` ar( APD) +ar (PBC) =ar(APB) +ar( PCD) `

Explanation

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसके भीतर P कोई बिंदु है
सिद्ध करना है
`(i) ar (Delta AAPB) +ar (Delta PCD) =(1)/(2) ar (||^(gm)ABCD)`
` (ii) ar (Delta APD) +ar ( Delta PBC) =ar ( Delta APB) +ar ( Delta PCD) `
बनावट : P बिंदु से होता हुआ ` LPM||AB ` खिंचा जो AD तथा BC को क्रमशः L एवं M पर काटता है| ` PQbot AB ` खींचा| ltBrgt प्रमाण ` " "(i) because LM||AB ` तथा ` AL ||BM`
` therefore ABML `एक समांतर चतुर्भुज है| ltBrgt `therefore " "ar (||^(gm) ABML) =AB xx PQ `
और `" "ar (Delta APB) =(1)/(2) ABxx PQ`
` therefore " "ar(Delta APB) =(1)/(2) ar(||^(gm ) ABML) `
इसी प्रकार ` " "ar (DeltaPCD) =(1)/(2) ar (||^(gm ) LMCD) " "...(ii)`
` therefore " "ar (Delta APB) +ar ( Delta PCD) `
` " "=(1)/(2) ar (||^(gm)ABML) +(1)/(2) ar(||^(gm) LMCD) `
` " "=(1)/(2) ar (||^(gm ) ABCD) " " ` यही साबित करना था ....(i )
(ii) इसी प्रकार P से होता हुआ AD के समांतर रेखा खींचकर तथा P से AD पर लम्ब डालकर यह सिद्ध किया जा सकता है की
` " "a r(Delta APD) +ar (Delta PBC) =(1)/(2)ar (||^(gm ) ABCD) " "...(ii)`
(i ) तथा (ii ) से हमें मिलता है
` ar (Delta APD) +ar (Delta PBC) =ar ( DeltaAPB) +ar (Delta PCD) `