दिए गए चित्र में चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते है की OB = OD है|यदि AB =CD है ,तो दर्शाइए की
`(i) ar (DOC) =ar (AOB)`
` (ii) ar (DCB) =ar (ACB) `
` (iii) DA||CB` या ` ABCD` एक समांतर चतुर्भुज है|
` (##KCS_HIN_MAT_IX_C11_SLV_028_Q01##) `

Explanation

बनावट : D से, `DL bot AC` तथा B से `BM botAC` खिंचा|
प्रमाण :(i ) `Delta DOL` और `Delta BOM` में
` " " OD =OM" " ` [दिया है]
` " " angle DOL =angle BOM " "` [सम्मुख कोण ]
`" " angle DOL =angle BMO " "` [प्रत्येक `= 90^(@)` ]
` therefore " "Delta DOL =Delta BOM " " ` [ ASA सर्वांगसमता नियम से ]
` therefore " " DL =BM ` के साथ ही ` ar (Delta DOL )=ar (Delta BOM)" "...(i)`
पुनः समकोण `" "Delta DLC` और ` Delta BMA ` में ltBrgt` " " angle DLC =angle BMC=90^(@) `
` " "` कर्ण CD =कर्ण AB ` " " ` [दिया है ]
तथा ` " "DL =BM" "` [ऊपर सिद्ध किया जा चूका है]
` therefore " "Delta DLC -= Delta BMA " "` [RHS सर्वांसमता नियम से]
अतः ` " "ar (Delta DLC) =ar (Delta BMA )" "...(ii)`
` ar(Delta DOL) +ar (Delta DLC) =ar ( Delta BOM )+ ar(Delta BMA) `
अर्थात ` " "ar (Delta DOC ) =ar (Delta AOB) " "...(iii)`
(ii) समीकरण (iii ) के दोनों तरफ `ar (Delta AOB)` जोड़ देने पर
` ar (Delta DOC) +ar (Delta COB) =ar (Delta AOB) +ar(Delta COB)`
`rArr" "ar (Delta DCB) =ar (Delta ACB) `
(iii) चूँकि `Delta DCB` और ` Delta ACB ` एक ही आधार CB पर खड़े है तथा (iv ) से उनके क्षेत्रफल बराबर है, इसलिए वे एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित होंगें|
` therefore " "DA||CB`
फिर ` because " "Delta DOL -= Delta BOM therefore OL =OM`
तथा ` Delta DLC -= Delta BMA therefore LC=MA`
जोड़ने पर ` OL+ LC= OM+MA` अर्थात `OC=OA ` इस प्रकार चतुर्भुज के कर्ण एक-दूसरे को O बिंदु पर समद्विभाजित करते है अतः ABCD एक समांतर चतुर्भुज है|