यदि एक चक्रीय चतुभुर्ज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हो, तो सिद्ध कीजिए की वह एक आयत है ।

Explanation

दिया है : एक चक्रीय चतुभुर्ज ABCD जिसके कर्ण `AC` और `BD` वृत्त के केन्द्र `O` गुजरते है ।
सिद्ध करना है की `ABCD` एक आयत है ।
प्रमाण `AC,` चूँकि `angleABC=90^(@)` वृत्त का व्यास है, इसलिए तथा `angleADC=90^(@)` (अर्द्धवृत एक कोण समकोण होता है)
इसी तरह चूँकि `BD` वृत्त का व्यास है
इसलिए `angle DAB=90^(@)` तथा `angle BCD=90^(@)`

इस प्रकार चुरभुर्ज `ABCD` का प्रत्येक कोण `90^(@)`
पुनः `Delta ABC` और `Delta COD` में
`OA=OD.OB=OC`
तथा `angleAOB = angle COD " "` ( वृत्त की त्रिज्याएँ )
`:. Delta AOB~=Delta COD" "` [ सम्मुख कोण]
अब `AB=CD` तथा `OAB=OCD` [ सर्वांगसमता नियम से]
`:. AB||CD`
इस प्रकार चतुभुर्ज `ABCD` की आमने-सामने की भुजाएं बराबर है तथा समान्तर है, इसलिए ABCD एक समान्तर चतुभुर्ज है। चतुभुर्ज `ABCD` का प्रत्येक कोण समकोण है ।
`:.` चतुभुर्ज `ABCD` के आयत है।