दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक `6q+1`, या `6q+3` या `6q+5` के रूप का होता हैं, जहाँ q कोई पूर्णांक हैं|

Explanation

मान लीजिये a कोई धानात्मक विषम पूर्णांक हैं|
और मान लीजिये b=6 [b=6 इसलिए मानते हैं क्यूंकि दी गई संख्यायों का रूप `6q+1, 6q+3` या `6q+5` हैं|
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
`a=bq+r= 6q+r`, जहाँ q कोई अतृणात्मक पूर्णांक हैं और r एक पूर्ण संख्या इस प्रकार हैं कि `0 le r lt 6`
यहाँ r संभावित मान 0,1,2,3,4 और 5 हैं|
जब `r=0, a=6q`
जब `r=1, a=6q+1`
जब `r=2, a=6q+2`
जब `r=3, a=6q+3`
जब `r=4, a=6q+4`
जब `r=5, a=6q+5` लेकिन `6q, 6q+2, 6q+4`, सम संख्याएं हैं और a विषम संख्या हैं| अतः a का मान `6q, 6q+2` और `6q+4` सम्भव नहीं हैं|
`therefore a=6q+1` या `6q+3` या `6q+5` ही सम्भव हैं, जहाँ q एक अऋणात्मक पूर्णांक संख्या हैं|