यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, `9m +1, 9m+8` के रूप का होता हैं|

Explanation

माना कि a कोई धनात्मक पूर्णांक हैं|
प्रथम विधि (First Method):
b=3 मानकर यूक्लिड विभाजन प्रेमियका से हम पाते हैं कि `a=bq+r`, जहाँ q एक ऋणात्मक पूर्णांक हैं, और r एक पूर्णांक हैं इस प्रकार कि `0 le r lt 3` |
जब `r=0, a=3q therefore a^(3) = 27q^(3) = 9(3q^(3))`, जो 9m के रूप का हैं|
जब `r=1, a=3q+1 therefore a^(3) = (3q+1)^(3) = 27q^(3) +3.9q^(2) + 3.3q + 1^(3)= 9(3q^(3) + 3q^(2) + q) +1`, जो `9m+1` के रूप का हैं|
जब, `r=2, a=3q+2`
`therefore a^(3) = (3q+2)^(3) = 27q^(3) + 6.9q^(2) + 4.9q + 2^(3) = 9(3q^(3) + 6q^(2) + 4q) +8`, जो `9m+8` के रूप का हैं|
इस तरह हम पाते हैं कि किसी धानात्मक पूर्णांक का धन `9m, 9m+1` या `9m+8` के रूप का होता हैं|