सिद्ध करें कि `sqrt(5)` एक अपरिमेय संख्या है|

Explanation

यदि सम्भव हो, तो मान लिया कि `sqrt(5)` एक परिमेय संख्या है| तब परिमेय संख्या कि परिभाषा के अनुसार, p और q, `q ne 0` दो पूर्णांक इस प्रकार हैं कि
`sqrt(5) = p/q`
यदि p और q में एकतार (Other than 1) कोई अभिनिष्ट गुणनखंड हो, तब वे उभयनिष्ट गुणनखंड विभाजित किये जा सकता हैं|
मान लिया `sqrt(5) = m/n`
जहाँ m और n पूर्णांक है जिसमे एकतार अभयनिष्ट पूर्णांक नहीं है| अर्थात m और n सह-अभाज्य (co-primes) हैं|
सम्बन्ध (ii) से हम पाते है कि `sqrt(5).n=m`
या, `5n^(2) = m^(2)` (दोनों पक्षों को वर्ग करने पर)....................(iii)
`rArr 5, m^(2)` को विभाजित करता है|
`rArr` 5,m को विभाजित करता है|..............(iv)
मान लिया, m = 5k
तब (iii) से `5n^(2) = 25k^(2)`
`rArr n^(2) = 5k^(2)`
`rArr 5,n^(2)` को विभाजित करता है|
`rArr 5,n` को विभाजित करता है| ..............(v )
(iv) और (v) से निष्कर्ष है कि m और n का उभयनिष्ट गुणनखंड 5 है|
इस तरह हमारा यह मानना कि `sqrt(5)` एक परिमेय संख्या है असत्य है|
अतः `sqrt(5)` एक अपरिमेय संख्या है|