सिद्ध करें कि `1/sqrt(2)` अपरिमेय है|

Explanation

यदि सम्भव हो, तो मान लिया कि `1/sqrt(2)` परिमेय है|
तब p और q ऐसे पूर्णांक मिलेंगे कि `1/sqrt(2) = p/q, q ne 0`..............(i)
यदि p और q कोई उभयनिष्ट एकतार गुणनखंड है, तो हम काट देते है
तब `1/sqrt(2)= m/n`..............(ii)
जहाँ m और n पूर्णांक है जिनमे एकतार उभयनिष्ट गुणनखंड नहीं है, और `n ne 0` अर्थात m और n सह-अभाज्य हैं|
(ii) से हम पाते है कि `sqrt(2)m=n`
`rArr 2m^(2) = n^(2)`...................(iii)
`rArr 2, n^(2)` को विभाजित करता है| ..................(iii)
`rArr 2,n` को विभाजित करता है (प्रमेय से)..................(iv)
मान लिया `m=5k`
तब (iii) से `5n^(2) = 25k^(2)`
`rArr n^(2) = 5k^(2)`
`rArr 5,n^(2)` को विभाजित करता है|
`rArr 5,n` को विभाजित करता है| ....................(v )
(iv) और (v) से निष्कर्ष निकलता है कि m और n का उभयनिष्ट गुणनखंड 5 है|
यह हमारी मान्यता के, m और n के 1 से भिन्न उभयनिष्ट गुणनखंड नहीं है, के विरोधाभासी है| इस तरह हमारा यह मानना कि `sqrt(5)` एक परिमेय संख्या है, असत्य है|
अतः `sqrt(5)` एक अपरिमेय संख्या है|