बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किये बताइये की निम्नलिखित परिमेय संख्यायों के दशमल प्रसार सति है यह असांत आवर्ती है|
(i) `23/(2^(3).5^(2))`, (ii) `15/1600`, (iii) `256/4050`, (iv) `77/210`, (iv) `1715/(2^(3) 7^(3))`

Explanation

(i ) मान लिया की `a=23/(2^(3).5^(2))`
चूँकि 23 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए हर का कोई गुणनखंड नहीं कटेगा|
अब `a=23/(2^(3).5^(2))=p/q` (मान लिया)
यहाँ, `q=2^(3).5^(2)`
यहाँ q का 2 और 5 के अतिरिक्त कोई दूसरा अभाज्य गुणनखंड नहीं है|
इसलिए परिमेय संख्या a का दशमल प्रसार सांत होगा|
(ii) मान लिया कि `b = 15/1600 = (5 xx 3)/(2^(6) xx 5^(2)) = 3/(2^(6) xx 5)`
चूँकि यहाँ हर में 2 और 5 के अतिरिक्त कोई दूसरा अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए दत्त परिमेय संख्या b सांत दशमल विस्तार का है|
(iii) मान लिया `c=256/4050`
`=2^(8)/(2 xx 5^(2) xx 3^(4)) = 2^(7)/(5^(2) xx 3^(4))`
यहाँ हर में 2 और 5 के अतिरिक्त एक गुणनखंड 3 है| अतः, परिमेय संख्या c असांत आवर्ती दशमल विस्तार का है|

(iv) मान लिया कि `d=77/210`

तब `d=(7 xx 11)/(2 xx 3 xx 5 xx 7) = 11/(2 xx 3 xx 5)`
यहाँ हर में 2 और 5 के अतिरिक्त एक गुणनखंड 3 है| गltbr gt अतः d का दशमल विस्तार अशांत आवर्ती होगा|
(v) मान लिया `x=(1715)/(2^(3) xx 7^(3))`
तब `x=(5 xx 7^(3))/(2^(3) xx 7^(3)) = 5/2^(3)`
हर में 2 और 5 के अतिरिक्त कोई अन्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए x का दशमलव विस्तार सांत होगा|