निम्नलिखित वास्तविक संख्याओं के दशमलव विस्तार दिए गए है| जाँच कर बतायें कि वे परिमेय है या नहीं| यदि वे `p/q` के रूप के परिमेय हों, तब q के अभाज्य गुणनखंडों के बारे में क्या कहा जा सकता है?
(i) `2.05bar68`, (ii) `3.245` , (iii) `43.123456789`, (iv) `43.bar(123456789)`, (v) `1.03458`, (vi) `1.10100110001`............. , (vii) `2.2360679`, (viii) `2.121121112`

Explanation

(i) मान लिया कि `a=2.05bar(68)`
चूँकि a का दशमल विस्तार आवर्ती है| अतः a एक परिमेय संख्या है|
माना कि `a=p/q`
चूँकि परिमेय संख्या का दशमलव विस्तार असांत आवर्ती है| इसलिए `q, 2^(m), 5^(n)` के रूप का नहीं हो सकता है, जहाँ m और n ऋणेत्तर पूर्णांक हैं|
(ii) मान लिया कि `b=3.425`
यहाँ b का दशमलव विस्तार सांत हैं, अतः b परिमेय संख्या हैं|
यदि `b, p/q` के रूप का हो तब `q.2^(m), 5^(n)` के रूप का होगा, जहाँ m और n ऋणेत्तर पूर्णांक हैं|
(iii) मान लिया कि `c=43.123456789`
यहाँ, c का दशमलव विस्तार सांत हैं| अतः c का परिमेय संख्या हैं|
यदि `c,p/q` के रूप का हो तब q का रूप `2^(m).5^(n)` होगा, जहाँ m और n ऋणेतर धनात्मक पूर्णांक हैं|
(iv) मान लिया कि `d=43.bar(123456789)`
यहाँ d का दशमल प्रसार आवर्ती हैं, इसलिए d एक परिमेय संख्या हैं|
यदि, `x=p/q`, तब q का रूप `2^(m).5^(n)` के जैसा होगा जहाँ m,n ऋणेत्तर पूर्णांक हैं|
(vi) मन लिया `y=1.1010010001....`
यहाँ स्पष्ट हैं कि y का दशमल विस्तार न तो सांत हैं और न आवर्ती| अतः y एक परिमेय संख्या नहीं हैं|
(vii) मान लिया कि `z=2.2360679....`
यहाँ z का दशमलव विस्तार न तो सांत और न आवर्ती|
इसलिए z एक परिमेय संख्या नहीं हैं|
(viii) मान लिया कि `u=2.121121112...`
यहाँ u का दशमलव विस्तार न तो सांत हैं और न आवर्ती| इसलिए u एक परिमेय संख्या नहीं हैं|