अनुपातों `(a_(1))/(a_(2)),(b_(1))/(b_(2))` and `(c_(1))/(c_(2))` की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है, समांतर है अथवा संपाती है:
(i) `{: (4x-4y+8=0),(7x+8y-9=0):}`
(ii) `{:(9x+3y+12=0),(18x+6y+24=0):}`
(iii) `{: (6x-3y+10=0),(2x-y+9=0):}`

Explanation

(i)दत्त्‍ समीकरण है: `9x+3y=-12`……..i
और `18x+6y=-24`………ii
यहां `a_(1)=9, b_(1)=3,c_(1)=-12`
`a_(2)=18,b_(2)=6,c_(2)=-24`
अब `(a_(1))/(a_(2))=9/18=1/2,(b_(1))/(b_(2))=3/6=1/2,(c_(1))/(c_(2))=(-12)/(-24)=1/2`
स्पष्टतः `(a_(1))/(a_(2))=(b_(1))/(b_(2))=(c_(1))/(c_(2))`
अतः दत्त रेखायुग्म द्वारा निरूपित रेखायें संपाती हैं।
(ii)दत्त समीकरण है `5x-4y+8=0` या `5x-4y=-8`……….iii
और `7x+6y-9=0`
या `7x+6y=9`……….iv
यहां `a_(1)=5,b_(1)=-4,c_(1)=-8`
`a_(2)=7,b_(2)=6,c_(2)=9`
अब `(a_(1))/(a_(2))=5/7,(b_(1))/(b_(2))=-4/6 . (c_(1))/(c_(2))=-8/9`
चूंकि `(a_(1))/(a_(2))!=(b_(1))/(b_(2))` अतः रेखायें जो दत्त रेखायें जो दत्त रेखाओं को निरूपित करती है प्रतिच्छेदी हैं।
(iii) दत्त समीकरण हैं `6x-3y=-10`………..v
और `2x-y=-9`………..vi
यहां `a_(1)=6,b_(1)=-3,c_(1)=-10`
`a_(2)=2,b_(2)=-1,c_(2)=-9`
अब `(a_(1))/(a_(2))=6/3=3,(b_(1))/(b_(2))=(-3)/(-1)=3,(c_(1))/(c_(2))=(-10)/(-9)=10/9`
चूंकि `(a_(1))/(a_(2))=(b_(1))/(b_(2))!=(c_(1))/(c_(2))` अतः दत्त समीकरण को निरूपित करनेवाली रेखायें समांतर है।