निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्मों में कौन संगत/असंगत है ? यहदि संगत है तब उनके हल आलेखीय विधि से ज्ञात करें।
(i) `{: (x+y=5),(2x+2y=10):}` (ii) `{: (2x+y-6=0),(2x-2y-4=0):}` (iii) `{: (2x-2y-2=0),(4x-4y-5=0):}` (iv) `{: (x-y=8),(3x-3y=16):}`

Explanation

(i)दत्त समीकरण है: `x+y=5`………….i
और `2x+2y=10`………..ii
यहां `a_(1)=1,b_(1)=1,c_(1)=5`
`a_(2)=2,b_(2)=2,c_(2)=10`
अब `(a_(1))/(a_(2))=1/2,(c_(1))/(c_(2))=5/10=1/2` चूंकि `(a_(1))/(a_(2))=(b_(1))/(b_(2))=(c_(1))/(c_(2))`
अतः दत्त समीकरणों द्वारा निरूपित रेखायें संपाती है और इसलिए दत्त समीकरण निकाय संगत है और उसका अनन्ततः अनेक हल हैं।

मान लें `A-=(0,5),B-=(5,0),C-=(1,4),D-=(2,3)`
समीकरण (i) और (ii) को निरूपित करनेवाली रेखाओं के आलेख AB और CD है जो संपाती है।
संपाती रेखा पर स्थित प्रतयेक बिंदु के नियामक एक हल होगा।
(ii) दत्त समीकरण है `2x+y=6`……………iii
और `4x-2y=4`…….iv
यहां `a_(1)=2,b_(1)=1,c_(1)=6`
`a_(2)=4,b_(2)=-2,c_(2)=4`
अब `(a_(1))/(a_(2))=2/4=1/2,(b_(1))/(b_(2))=1/(-2)=-1/2,(c_(1))/(c_(2))=6/4=3/2`
चूंकि `(a_(1))/(a_(2))!=(b_(1))/(b_(2))` अतः दत्त रैखिक समीकरण युग्म संगत है और इसका अद्वितीय हल है।

समीकरण (iii) और (iv) को निरूपित करनेवाली रेखाओं के आलेख AB और CD है। ये रेखायें बिंदु `P(2,2)` पर मिलती है।
अतः दत्त समीकरण युग्म के हल हैं `:x=2, y=2`
(iii) दत्त समीकरण है `2x-2y=2`……….v
और `4x-4y=5` …………..vi
यहां `a_(1)=2, b_(1)=-2, c_(1)=2`
`a_(2)=4,b_(2)-4,c_(2)=5`
अब `(a_(1))/(a_(2))=2/4=1/2 , (b_(1))/(b_(2))=(-2)/(-4)=1/2, (c_(1))/(c_(2))=2/5`
चूंकि `(a_(1))/(a_(2))=(b_(1))/(b_(2))!=(c_(1))/(c_(2))` अतः दत्त समीकरण युग्म असंगत है अर्थात इसका कोई हल नहीं है।
(iv) दत्त समीकरण है `x-y=8`…………..vii
और `3x-3y=16`………..viii
यहां `a_(1)=1, b_(1)=-1, c_(1)=8`
`a_(2)=3, b_(2)=-3, c_(2)=16`
अब `(a_(1))/(a_(2))=1/3,(b_(1))/(b_(2))=(-1)/(-3)=1/3,(c_(1))/(c_(2))=8/16=1/2`
चूंकि `(a_(1))/(a_(2))=(b_(1))/(b_(2))!=(c_(1))/(c_(2))` अतः दत्त समीकरण युग्म असंगत है अर्थात इसका कोई हल नहीं है।