किसी A.P. में आरंभ और अन्त से समदूरस्थ पदों का योग सदैव समान रहता हैं और यह प्रथम और अंतिम पदों के योग के बराबर होता हैं ।

Explanation

मान ले `a_(1) , a_(2) , a_(3) , ..... , a_(n)` एक A.P. हैं जिसका c.d.'d' हैं
आरंभ से r वाँ पद = `a_(r) = a_(1) + ( r - 1) d `
और अन्त से rवाँ पद = आरंभ से (n - r + 1) वाँ पद
`therefore` अन्त से rवाँ पद = `a_(n - r + 1) = a_(1) + ( n - r + 1 - 1)d`
`= a_(1) + ( n -r) d`
अब , `a_(r) + a_(n - r + 1) = a_(1) + (r - 1)d + a_(1) + (n - r) d`
` = 2a_(1) + ( n - 1) d `
`=a_(1) + [a_(1) + ( n -1)d ] = a_(1) + a_(n)`
अर्थात् `a_(r) + a_(n - r + 1) = a_(1) + a_(n) ` for all r = 1,2,....., n ,
या , `a_(2) + a_(n-1) = a_(3) + a_(n - 2) = a_(4) + a_(n-3) = .... = a_(1) + a_(n)`= प्रथम पद + अंतिम पद