यदि किसी श्रेणी के n पदों का योग `5n^(2) + 3n` हैं तो इसका n वाँ पद ज्ञात करें । क्या इस श्रेढ़ी के पद A.P. में हैं ?

Explanation

माना कि श्रेढ़ी के n पदों का योग `S_(n)` हैं ।
प्रश्न से , `S_(n) = 5n^(2) + 3n` ...(i)
`therefore S_(n-1) = 5(n - 1)^(2) + 3(n - 1)` [ n के स्थान पर ( n - 1) लिखने से ] ...(ii)
अब , `S_(n) = (t_(1) + t_(2) + .....+ t_(n - 1)) + t_(n) = S(_(n - 1) + t_(n))`
`therefore t_(n) = S_(n) - S_( n - 1) , n ge 2 `
= ` 5n^(2) + 3n - 5 ( n - 1)^(2) - 3(n -1)`
= `5[ n^(2) - ( n - 1) ^(2) ] + 3 [ n - n + 1]`
= 5 ( 2n -1 ) + 3
अतः `t_(n) = 10 n - 2, n ge 2` ...(iii)
अब `t_(1) = S_(1) = 5.1^(2) + 3.1 = 8` [ (i) में n = 1 रखने पर ]
(iii) से , `t_(2) = 10.2 - 2 = 18` [ n = 2 रखने पर ]
`t_(3) = 10.3 - 2 = 28 ` [ n = 3 रखने पर ]
और इसी प्रकार आगे
अतः दत्त श्रेढ़ी के पद 8,18,28 , ... हैं जो A.P. में हैं जिसका c.d. = 10 हैं ।