एक A.P. के p एंव q पदों के योग का अनुपात `p^(2) , q^(2)` हैं । दिखायें कि इसके p वें एंव q वें पदों का अनुपात 2p -1 : 2q - 1 हैं ।

Explanation

माना कि A.P. का प्रथम पद a एंव c.d ( सार्व अंतर ) d हैं ।
दिया हैं , `(S_(p))/(S_(q)) = ( p^(2) ) /(q^(2)) rArr ((p)/(2) [ 2a + ( p - 1) d])/((q)/(2) [ 2a + (q - 1) d)) = (p^(2))/(q^(2))`
`rArr (2a + (p -1) d)/(2a + (q -1) d) = (p)/(q)` ....(i)
अब , `(t_(p))/(t_(q)) = (a + (p -1) d)/(a + ( q -1)d) = ( 2a + ( 2p - 2) d)/(2a + ( 2q - 2) d)`
`therefore , (t_(p))/(t_q) = (2a + [ (2p - 1) - 1 ]d)/(2a + (2q - 1) - 1"]"d)` ...(ii)
(i) में p की जगह 2p - 1 तथा q की जगह 2q - 1 रखने पर हमें मिलता हैं ,
`(2a + [ ( 2p - 1) -1] d)/(2a + [ (2q - 1) -1] d ) = ( 2p -1)/(2q - 1)`
(ii) और (iii) से हम पाते हैं , `(t_(p))/(t_(q)) = (2q-1)/(2q-1)` ...(iii)