यदि `S_(1),S_(2),S_(3)` तीन A.P. के n पदों के योग हैं जिनके ( प्रत्येक का ) पद प्रथम पद 1 हैं और उनके c.d. क्रमशः 1,2,3 हैं , तो सिद्ध करें कि `S_(1) + S_(3) = 2 S_(2)`.

Explanation

A.P. के n पदों का योग `S_(n) = (n)/(2) [ 2a + ( n -1) d ] `
जहाँ a = प्रथम पद और d = सार्व अंतर
यहाँ तीनों A.P. के लिए a = 1
अब `S_(1) = c.d`. 1 वाले A.P. के n पदों का योग = `(n)/(2) [ 2.1 + ( n -1) 1] = (n)/(2) [ n + 1]` ...(i)
`S_(2) = c.d.` 2 वाले A.P. के n पदों का योग ` = (n)/(2) [ 2.1 + (n - 1)2 = (n)/(2) [ 2n ] = n^(2)` ..(ii)
`S_(3) = c.d.` 3 वाले A.P. के n पदों का योग `= (n)/(2) [ 2.1 + (n -1) 3 ] = (n)/(2) [ 3n - 1]` ...(iii)
(i) और (iii) को जोड़ने पर हम पाते हैं ,
`S_(1) + S_(3) = (n)/(2) [ n + 1) + ( 3n + 1) ] = (n)/(2) .4n = 2n^(2) = 2S_(2)` [ (ii) से ]
अतः `S_(1) + S_(3) = 2S_(2).`