दो A.P. के n पदों के योगों का अनुपात (3n + 1 ) : ( 4n + 3) हैं उनके m वें पदों के अनुपात ज्ञात कीजिए ।

Explanation

माना कि पहले और दूसरे A.P. के प्रथम पद क्रमशः `a_(1) , a_(2) ` एंव उनके सार्व अंतर `d_(1) , d_(2)` हैं ।
माना कि पहले और दूसरे A.P. के n पदों के योग क्रमशः `S_(n)` तथा `S_(n)'` हैं , तो
`S_(n) = (n)/(2) [ 2a_(1) + (n - 1) d_(1) ] `
तथा `S'_(n) = (n)/(2) [ 2a_(2) + (n -1) d_(2)] `
दिया हैं , `(s_(n))/(sn') = (3n + 1)/(4n + 3)`
`therefore (2a_(1) + (n -1) d_(1))/(2a_(2) + (n -1)d_(2)) = ( 3n + 1)/(4n + 3)` ...(i)
अब `(t_(m))/(t_m') = (a_(1) + ( m -1) d_(1) )/(a_(2) + ( m - 1)d_(2)) = (2a_(1) + (2m - 2) d_(1))/(2a_(2) + (2m - 2 ) d_(2))`
=`(2a_(1) + [ ( 2m -1) - 1] d_(1))/(2a_(2) + [ ( 2m - 1) -1] d_(2))` ...(ii)
(i) में n = 2m - 1 रखने पर हम पाते हैं ,
`(2a_(1) + 2(m - 1) d_(1))/(2a_(2) + 2( m -1) d_(2)) = (3(2m - 1) + 1)/(4(2m - 1) + 3) = ( 6m - 2)/(8 m - 1)` ...(iii)
(ii) और ( iii) से हम पाते हैं ,
`(t_(m))/(t_(m')) = ( 6m - 2)/(8m - 1)`
`therefore` दोनों दत्त A.P. के m वें पदों का अनुपात ( 6m - 2) : ( 8m - 1) हैं ।