एक बहुपद के अन्तः कोण A.P. में हैं । न्यूनतम कोण `120^(@)` हैं और सार्व - अंतर `5^(@)` हैं । बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए ।

Explanation

मान लीजिए कि बहुभुज की भुजाओं की संख्या = n
ज्यामिति से हम जानते हैं कि n भुजा वाले बहुभुज के अन्तः कोणों का योग = `(2n - 4) xx90^(@)` ....(i)
दिया हैं , `a = 120^(@) , d = 5^(@)` , n = n
बहुभुज के अन्तः कोणों का योग = `(n)/(2) [ 2.120 + ( n - 1) 5 ]` [ डिग्री में ] ..(ii)
(i) और (ii) से हम पाते हैं ,
`(n)/(2) [ 240 + 5n - 5] = ( 2n -4) xx 90`
या , n(234 + 5n ) = 180 (2n - 4) या , `5n^(2) + 235n = 360 n - 720`
या , `5n^(2) - 125n + 720 = 0 या , n^(2) - 25 n + 144 = 0`
या , `n^(2) - 9n - 16n + 144 = 0 या , ( n - 9) ( n - 16) = 0 therefore n = 9 , 16`
किंतु यदि n = 16 , तो बहुभुज का अंतिम (महत्तम ) कोण = `120 + ( 16 -1 ) *5 = 195^(@)`
किंतु किसी भी बहुभुज के अन्तः कोण का मान `180^(@)` के बराबर या ज्यादा नहीं हो सकता हैं ।
`therefore n ne 16 , अतः n = 9`
अतः बहुभुज की भुजाओं की संख्या = 9