200 लट्ठे को ढेरी के रुप में इस प्रकार रखा जाता हैं , सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे , उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे , उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे उससे अगली पंक्ति में और इसी तरह आगे (देखिये चित्र) ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गये हैं ?

Explanation

प्रश्न के अनुसार ,
पेन्दी की पंक्ति में लट्ठों की संख्या = 20
पेन्दी से दूसरी पंक्ति में लट्ठों में संख्या = 19
पेन्दी से ' तीसरी पंक्तियों में लट्ठों की संख्या = 18 और इसी तरह आगे भी
अब पेंदी से क्रमागत पंक्तियों (कतारों) में लट्ठों की संख्या = 20 , 19 , 18 ,...
स्पष्टतः ये संख्याएँ A.P. में हैं ।
इस A.P. के लिए , a = 20
और d = 19 - 20 = -1
मान लीजिए कि ऊपरी कतार n वाँ कतार हैं ।
उपरी कतार में लट्ठो की संख्या ` = t_(n)` हमें `t_(n)` ज्ञात करना हैं ।
प्रश्न के अनुसार
`S_(n)` ( लट्ठों की कुल संख्या ) = 200
`rArr (n)/(2) [ 2a + ( n -1) d] = 200 `
`rArr (n)/(2) [ 2 xx 20 + ( n -1) ( -1) ] = 200 rArr (n)/(2) [ 40 - n + 1] = 200`
`rArr (n)/(2) [ 41 - n ] = 200 rArr 41 n - n^(2) = 400`
`rArr n^(2) - 41n + 400 = 0 rArr n^(2) - 16n - 25n + 400 = 0 `
`rArr n (n -16) - 25( n - 16) = 0 rArr ( n - 16) ( n - 25 ) = 0`
`rArr n = 16 , 25 `
जब n = 16 , `t_(n) = a + ( n -1)d = 20 + ( 16 -1) ( -1) = 20 - 15 = 5`
जब n = 25 , `t_(n) = a + ( n -1) d = 20 + ( 25 - 1) (-1) `
= 20 - 24 = -4 ( जो संभव नहीं हैं । )
अतः कतारों की संख्या = 16 और ऊपरी कतार में लट्ठों की संख्या = 5