एक कुण्डली 13 क्रमागत अर्ध्द वृतों की बनी हैं जिसके केंद्र A और हैं । केंद्र A से आरंभ कर त्रिज्यायें 0.5 सेमी. 1.5 सेमी, 2.0 सेमी ,... हैं चित्र में दिखाया गया हैं । इस तरह की कुण्डली की कुल लम्बाई , जो 13 क्रमागत अर्ध्द वृत्तों से बनी हैं क्या होगी ? [ ` pi = (22)/(7)` ल ]

Explanation

मान लीजिए कि अर्ध वृतों की लम्बाइयाँ `l_(1) , l_(2) , l_(3) , l_(4) ....l_(13)` हैं जिनके केंद्र क्रमशः A, B, A, B, ... हैं ।
अब `l_(1)` = प्रथम अर्ध्द वृत्त की लम्बाई जिसका केंद्र A हैं = `pi r_(1) = pi ( 0.5) = 0.5 pi` सेमी
`l_(2)` व्दितीय अर्ध्द वृत्त की लम्बाई जिसका केंद्र B हैं = `pir_(2) = pi ( 1.00) = pi` सेमी
`l_(3)` = तृतीय अर्ध्द वृत्त की लम्बाई जिसका केंद्र A हैं = `pir_(3) = pi (1.5) = 1.5 pi` सेमी
इसी तरह `l_(4) = pi r_(4) = pi . 2 = 2pi` सेमी और इसी तरह आगे भी
अतः क्रमागत अर्द्धवृतों की लम्बाइयाँ निम्नलिखित हैं , `0.5pi , pi , 1.5 pi , 2pi` .....,
स्पष्टतः ये संख्याये A.P. बनाती हैं जिसका प्रथम पद `a = 0.5 pi ` और सार्व अंतर ` d = pi - 0.5pi = 0.5 pi.`
अब कुण्डली की कुल लम्बाई जो 13 क्रमागत अर्ध्द वृतों की बनी हैं
` = l_(1) + l_(2) + l_(3) + l_(4) + ... 13` पदों तक
` = 0.5 pi + pi + 1.5pi + 2pi + ...., 13` दों तक
` = (13)/(2) [ 2 (0.5)pi + ( 13 -1) 0.5 pi ] [ because S_(n) = (n)/(2) [ 2a + ( n -1) d ] `
`= (13)/(2) pi ( 1 + 6) = (91)/(2) pi = (91)/(2) xx (22)/(7) = 13 xx 11 = 143 cm . [ because pi = (22)/(7)]`