किसी A.P. के तीसरे एंव सातवें पदों का योग 6 हैं और उनका गुणनफल 8 हैं । A.P. के प्रथम 16 पदों के योग ज्ञात करें ।

Explanation

मान लीजिए कि A.P. का प्रथम पद a तथा सार्व - अंतर d हैं ।
प्रथम से , `t_(3) + t_(7) = 6`
`rArr ( a + 2d ) + ( a + 6d ) = 6`
`rArr 2a + 8d = 6 `
`rArr a + 4d = 3` ....(i)
पुनः `t_(3) *t_(7) = 8 `
`rArr (a + 2d) ( a + 6d ) = 8 `
`rArr (3 - 4d + 2d) ( 3 - 4d + 6d) = 8` [ (i) से a का मान रखने पर ]
`rArr ( 3 - 2d) ( 3 + 2d) = 8`
`rArr 3^(2) - 4d^(2) = 8`
`rArr 4d^(2) = 9 - 8 = 1`
`rArr d^(2) = (1)/(4) rArr d = pm(1)/(2)`
जब , `d = (1)/(2) , (i) से a = 3 - 4d = 3 - 4 ((1)/(2)) = 1 `
जब, `d =(1)/(2) , (i) से , a = 3 - 4d = 3 - 4 (-(1)/(2)) = 5`
यदि `d = (1)/(2)` तो `S_(16)` ( 16 पदों का योग) = `(16)/(2) [ 2a + (16 - 1) d] = 8 [2xx1 + 15((1)/(2))]`
` = 8 (2 + (15)/(20)) = 8((4 + 15)/(2)) = 4(19) = 76 `
यदि `d = (1)/(2)` , तो `S_(16) = (16)/(2) [ 2a + (16 - 1) d ] = 8 [ 2xx5 + 15 (-(1)/(2))]`
` = 8 (10 - (15)/(2)) = 8(10 - 7.5) = 8(2.5) = 20 `
अतः `S_(16) = 20 , 76`