सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की भुजा पर बने समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उस वर्ग के विकर्ण पर बने वर्ग के क्षेत्रफल से आधा होता है ।

Explanation

ABCD एक वर्ग है और `DeltaBCE` तथा `DeltaACF` समबाहु त्रिभुज क्रमशः भुजा BC और कर्ण AC पर बनाये गये है ।
सिद्ध करना है : `"क्षे०"(DeltaBCE)=(1)/(2) "क्षे०"(DeltaACF)`
उपपत्ति : चूँकि `DeltaBCE` और `DeltaACF` में , प्रत्येक समबाहु त्रिभुज है ।
इसलिए उनमे से प्रत्येक का प्रत्येक कोण `60^@` है ।
`therefore DeltaBCE` और `DeltaACF` समानकोणीक है ।
`rArr DeltaBCE~DeltaACF`
चूँकि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के अनुपात , उनके संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है ।
`therefore ("क्षे०"(DeltaBCE))/("क्षे०"(DeltaACF))=(BC^2)/(AC^2)=(BC^2)/(2(B)^2)" "[because AC=sqrt(2)BC]`
`=(1)/(2)`
अतः `"क्षे०" (DeltaBCE)=(1)/(2)"क्षे०" (DeltaACF)`