`Delta ABC` में रेखाखण्ड `XY||AC` है तथा यह AB को X तथा AC को Y पर प्रतिच्छेद करती है और `DeltaABC` को दो समान क्षेत्रफल वाले भाग में विभाजित करती है तो सिद्ध करें कि `(AX)/(AB)=(2-sqrt(2))/(2)`

Explanation

एक `DeltaABC` है जिसमे `XY||BC` इस प्रकार है कि क्षे०`(DeltaAXY)` = क्षे०( समलंब BXYC) सिद्ध करना है : `(BX)/(AB)=(2-sqrt(2))/(2)`
उपपत्ति (प्रमाण) : `DeltaABC` में `XY,||BC` (दिया है)
अब `DeltaAXY` और `DeltaABC` में,
`angle 1= angle 2`
और `angle 3= angle 4`
`therefore Delta ABC~Delta AXY`
`therefore ("क्षे०"(Delta))/("क्षे०"(DeltaAXY))=(AB^2)/(AX^2)`
किन्तु `"क्षे०"(DeltaABC) = "क्षे०"(DeltaAXY) + "क्षे०"` (समलंब BXYC)
`therefore` (i) से हम पाते है कि
`("क्षे०"(DeltaAXY)+"क्षे०"("समलम्ब" BXYC))/("क्षे०"(DeltaAXY))=(AB^2)/(AX^2)`
`therefore` (ii) से , `("क्षे०"(DeltaAXY)+"क्षे०"(DeltaAXY)) /("क्षे०"(DeltaAXY))=(AB^2)/(AX^2)`
`rArr 2=(AB^2)/(AX^2)rArr (AB)/(AX)=sqrt(2)`
अब, `AX=AB-BX`
(iii) और (iv) से हम पाते है , `AB=sqrt(2)AX=sqrt(2)(AB-BX)`
`rArr sqrt(2)BX=(sqrt(2)-1)AB`
`rArr (BX)/(AB)=(sqrt(2)-1)/(sqrt(2))=((sqrt(2)-1)/(sqrt(2)))(sqrt(2))/(sqrt(2))=(2-sqrt(2))/(2)`
अतः `(BX)/(AB)=(2-sqrt(2))/(2)` (प्रमाणित)