सिद्ध करें कि किसी समचतुर्भुज की भुजाओं पर के वर्गों का योग उसके विकर्णों पर के वर्णो के योग के बराबर होता है ।

Explanation

दिया है : एक समचतुर्भुज ABCD है जिसके विकर्ण ACऔर BD एक -दूसरे को O पर प्रतिच्छेद करते है ।
सिद्ध करना है : `AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2`
उपपत्ति : चूँकि समचतुर्भुज के विकर्ण एक -दूसरे को समकोण पर समद्विभाजीत करते है ।
`angle AOB= angle BOC=angle COD=angle DOA=90^@, OA=(1)/(2)(AC) और OB=(1)/(2)(BD)Delta AOB` में, `angle AOB=90^@`
`therefore AB^2=OA^2+OB^2` [पाइथागोरस प्रमेय से]
`=((1)/(2)AC)^2+((1)/(2)BD)^2=(1)/(4)(AC^2+BD^2)`
`therefore 4AB^2=AC^2+BD^2`
किन्तु ABCD एक समचतुर्भुज है
`therefore AB=BC=CD=DA`
`therefore` (i) से , `AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2`
ABCD में, `AB=BC=CD=DA` अतः ऊपर के परिणाम को इस प्रकार लिखा जा सकता है । `4AB^2=AC^2+BD^2`