आयत ABCD के अन्दर O एक बिन्दु है । सिद्ध करें कि `OB^2+OD^2=OA^2+OC^2`

Explanation

दिया है : O, आयत ,ABCD के भीतर एक बिन्दु है ।
सिद्ध करना है कि `OB^2+OD^2=OA^2+OC^2`
रचना : O से `POQ||BC` खींचा जो AB पर तथा P को Q पर काटता है ।
उपपत्ति : चूँकि `POQ||BC`
`therefore PQ botAB` और `PQbotDC`
अब `angleBPQ=90^@` और `angleCQP=90^@`
`therefore BPQC`और APQD दोनों आयत है ।
`therefore BP=CQ` [आयत की सम्मुख भुजाएँ ]
और `DQ=AP` [आयत की सम्मुख भुजाएँ]
समकोण `DeltaOPB` से , `OB^2=OP^2+BP^2` .....(i)
समकोण `DeltaOQD` से , `OD^2=OQ^2+DQ^2` .....(ii)
समकोण `DeltaOPA` से , `OA^2=OP^2+AP^2` ....(iii)
समकोण `DeltaOQC` से, `OC^2=OQ^2+CQ^2`....(iv)
(i) और (ii), को जोड़ने पर हम पाते है, `OB^2+OD^2=OP^2+BP^2+DQ^2`
`=OP^2+OQ^2+CQ^2+AP^2" " [because BP=CQ " और " DQ=AP] `
`=(OP^2+AP^2)+(OQ^2+CQ^2)`
`=OA^2+OC^2`
[(iii) और (iv) से]
अतः `OB^2+OD^2=OA^2+OC^2` .