`Delta ABC` के अन्दर O एक बिन्दु है । `ODbotBC,OEbotAC` और `OFbotAB` जैसा कि त्रिभुज में दर्शित है `OA,OB,OC` को मिलाया गया है । सिद्ध करें कि
(i) `OA^2+OB^2+OC^2-OE^2-OF^2=AF^2+BD^2+CE^2`
(ii) `AF^2+BD^2+CE^2=AE^2+BF^2+CD^2`

Explanation

(i) समकोण `DeltaOFA` से , `OA^2=OF^2+AF^2` .....(i)
समकोण `DeltaODB`से , `OB^2=OD^2+BD^2` .....(ii)
और समकोण `DeltaOEC` से, `OC^2=OE^2+CE^2` .....(iii)
(i) , (ii) और (iii) को जोड़ने से हम पाते है ,
`OA^2+OB^2+OC^2=(OD^2+OE^2+OF^2)+(AF^2+BD^2+CE^2)`
अतः `OA^2+OB^2+OC^2-OD^2-OE^2-OF^2=AF^2+BD^2+CE^2`
(ii) समकोण `DeltaODB` और `DeltaODC` के लिए पाइथागोरस प्रमेय प्रयोग करने पर हम पाते है , `OB^2=OD^2+BD^2` ....(iv)
और `OC^2=OD^2+CD^2`....(v)
(v) को (iv) से घटाने पर हम पाते है , `OB^2-OC^2=BD^2-CD^2`....(vi)
इसी तरह से, समकोण `DeltaOCE` तथा `DeltaOAE` में ,
पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग कर घटाने पर हमे मिलता है , `OC^2-OA^2=CE^2-AE^2` ....(vii)
और `DeltaAOE` और `DeltaBFO` से, `OA^2-OB^2=AF^2-BF^2` .....(viii)
(vi),(vii) और (viii) को जोड़ने से हम पाते है , `0=(AF^2+BD^2+CE^2)-(AE^2+BF^2+CD^2)`
अतः `AF^2+BD^2+CE^2=AE^2+BF^2+CD^2`