सिध्द करे कि किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल इसकी भुजाओ के मध्य बिन्दुऔ से बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का चार गुण

Explanation

माना कि `ABC` एक त्रिभुज है |
माना कि D,BC का मध्य बिन्दु है तथा BC = 4k D मूल बिन्दु तथा DC को x -अक्ष माना |
तब `B -= (-2k, 0) , C -= (2k ,0)`
माना कि `A -= (2alpha , 2beta)`
माना कि E और F क्रमश : AC और AB के मध्य बिन्दु है |
अब `Delta ABC` का क्षेत्रफल ` = |(1)/(2) [2alpha (0-0) - 2k(0-2beta) + 2k(2beta - 0)]|`
` = (1)/(2)|8k beta | = 4|k beta|`
पुन `:D (0,0) E -= (alpha + k,beta) , F -= (alpha k ,beta)`
अतः `Delta D EF` का क्षेत्रफल `=|(1)/(2)[0(beta - beta) + (alpha + k)(beta - 0) + (alpha - k) (0 - beta))]|`
(i) और (ii) से स्पष्ट है कि `DeltaABC` का क्षेत्रफल = `4 xx Delta DEF` का क्षेत्रफल