सिद्ध कीजिए कि `(tanA)/(1 - cot A ) + (cot A)/(1 - tan A) = 1 + sec A cosec A`

Explanation

L.H.S. ` = (tan A)/(1-cot A) + (cot A)/(1-tan A) = ((sin A)/(cos A))/(1-(cos A)/(sin A))+ ((cos A)/(sin A))/(1-(sin A)/(cos A))`
` = (sin A )/(cos A) xx (sin A)/(sin A - cos A) + (cos A)/(sin A) xx (cos A)/(cos A - sin A)`
` = (sin^(2)A)/(cos A (sin A - cosA))+(cos^(2)A)/(sin A(cos A - sin A))`
` = (sin^(2)A)/(cos (sin A - cos A)) - (cos^(2)A)/(sin A(sin A - cos A))`
` = (sin^(3) A - cos^(3)A)/(sin A cos A (sin A - cos A))`
` = ((sin A - cos A)(sin ^(2) A + cos ^(2)A + sin A cos A))/(sin A cos A (sin A - cos A)) ` ...(i)
`[:' a^(3) - b^(3) = (a - b)(a^(2) +b^(2)+ab)]`
` = (1 + sin A cos A)/(sin A cos A) " "[:' sin ^(2) A+ cos ^(2) A = 1]`
` = 1/(sin A cos A) + (sin A cos A)/(sin A cos A)`
` = cosec A sec A + 1 = 1 + sec A cosec A = R.H.S.`