R तथा 2R त्रिज्याओं वाले धातु के दो वियुक्त ठोस गोले इस प्रकार आवेशित किये गये हैं कि दोनों पर आवेश - घनत्व `(sigma)` समान हैं । गोले परस्पर बहुत दुरी पर रखे हैं । जब इन्हें धातु के एक पतले तार द्वारा जोड़ दिया जाता है तो बड़े गोले पर नये आवेश - घनत्व का मान ज्ञात कीजिए ।

Options

A. ` 5 sigma`
B. ` sigma`
C. ` 6/5 sigma`
D. ` 5/6 sigma`

Answer

D

Explanation

माना, छोटे गोले (त्रिज्या R ) पर आवेश `q_(1)` तथा बड़े गोले (त्रिज्या 2R) पर `q_(2)` है तब
`sigma = (q_(1))/(4piR^(2)) = (q_(2))/(4 pi (2 R)^(2))`.
`therefore q_(1) = sigma xx 4 pi R^(2)` तथा
`q_(2) = sigma xx 4 pi (2 R)^(2).`
दोनों गोलों पर कुल आवेश
`q_(1) + q_(2) = sigma (4 pi R^(2)) + sigma {4 pi (2 R)^(2)} = 20 pi R^(2) sigma.`
तार द्वारा जोड़ने पर दोनों गोलों की कुल धारिता
`C = C_(1) + C_(2) = 4 pi epsi_(0) R + 4 pi epsi_(0) (2 R) = 12 pi epsi_(0) R`.
अतः उभयनिष्ठ विभव V = कुल आवेश/कुल धारिता `= (20 pi R^(2) sigma)/(12 pi epsi_(0) R) = (5 R sigma)/(3 epsi_(0)).`
बड़े गोले पर नया आवेश
`q_(2') = C_(2) V = 4 pi epsi_(0) (2 R) xx (5 R sigma)/(3 epsi_(0)) = 40/3 pi R^(2) sigma`.
अतः नया आवेश घनत्व = आवेश/पृष्ठ-क्षेत्रफल `= (40/3 pi R^(2) sigma)/(4 pi (2 R)^(2)) = 5/6 sigma.`