किसी LC परिपथ में 20 mH का एक प्रेरक तथा 50 `muF` का एक संधारित्र है, जिस पर प्रारंभिक आवेश 10 mC है। परिपथ का प्रतिरोध नगण्य है। मान लीजिए कि वह क्षण जिस पर परिपथ बंद किया जाता है t= 0 है
(a) प्रारंभ में कुल कितनी ऊर्जा संचित है? क्या यह LC दोलनों की अवधि में संरक्षित है?
(b) परिपथ की मूल आवृत्ति क्या है ?
(c) किस समय पर संचित ऊर्जा
(i) पूरी तरह से वैद्युत है (अर्थात् वह संधारित्र में संचित है)?
(ii) पूरी तरह से चुम्बकीय है (अर्थात प्रेरक में संचित है)?
(d) किन समयों पर संपूर्ण ऊर्जा प्रेरक एवं संधारित्र के मध्य समान रूप से विभाजित है?
(e) यदि एक प्रतिरोधक को परिपथ में लगाया जाए तो कितनी ऊर्जा अंतत: ऊष्मा के रूप में क्षयित होगी?

Explanation

दिया है: ` L= 20 mH =20xx 10^(-3) H,C = 50muF = 50xx 10^(-6) F ,q_0 = 10mC = 10xx10^(-3) C `
(a ) प्रारम्भ में कुल संचित ऊर्जा
` " "U_i =(q_0^(2))/( 2C) =( ( 10xx10^(-3))^(2))/( 2xx50xx10^(-6)) J = 1.0J`
हाँ, कुल ऊर्जा L -C दोलनों की अवधि में संरक्षित है( क्योंकि परिपथ ओमीए प्रतिरोध से मुक्त है| )
(b ) परिपथ की कोणीय आवृति,
` omega _0 =(1)/( sqrt ( LC) )= ( 1)/( sqrt( 20xx 10^(-3) xx50xx 10^(-6)) )= 10^(3) rad//s`
परिपथ की मूल आवृति
` " " f= ( omega_0)/( 2pi )= ( 10^(3))/( 2xx3.14) = 159Hz`
जब परिपथ t =0 पर बंद किया जाता है, तो संधारित्र के आवेशन का समीकरण है:
` " " q= q_0 cos omega t`
(i) ऊर्जा पूर्णतः विद्युत है यदि ` q= q_0` अर्थात यदि ` cos omega t= +- 1`
अथवा ` " "omega t =npi `
अथवा ` " " t= ( npi )/( omega ) =(npi)/( 2pi //T)=n (T)/(2) , (n= 0,1,2,3,....) `
अथवा ` " " t= 0,(T)/( 2) ,T ,(3T)/( 2) .....`
(ii) परिपथ की ऊर्जा पूर्णतः चुम्बकीये है, जब विद्युत ऊर्जा शून्य है|अर्थात जब ` cos omega t =0 ` अथवा ` omega t = ( 2n +1)(pi)/(2) `
` " "r = (2n +1) (pi)/( 2omega ) =(2n +1) ( pi)/( { 2xx ( ( 2pi)/( T))} ) `
` " " = (2n+ 1) (T)/(4) ," "(n= 0,1,2,....) `
अथवा ` " " t= ( T)/(4) ,(3T)/( 4) ,(5T)/( 4) ,.....`
ऊर्जा प्रेरकत्व तथा संधारित्र में समान रूप से वितरित होगी| यदि कुल ऊर्जा की आधी ऊर्जा विद्युत हो, अर्थात
` " "(q^(2))/( 2C) =(1)/(2) ((q_0^(2) )/( 2C) ) ` अथवा ` q= +- (q_0)/( sqrt(2)) `
अथवा ` " "q_0 cos omega t =+- (q_0)/( sqrt(2)) ` अथवा ` cos omega t =+- (1)/(sqrt(2)) `
अथववे ` " "omega t =(2 n +1) (pi)/(4) " "(n =0,1,2,3....) `
अथवा ` " " t= ( 2n +1) (pi)/( 4omega ) =(2 n+1) (pi)/( 4( (2pi)/( T)) ) " "(n= 0,1,2,3.....) `
अथवा ` " " t= ( 2n+ 1) *(T)/(8) =(T)/(8) ,(3T)/(8) ,(5T)/( 8)......`
(e ) जब परिपथ में प्रतिरोध R प्रविष्ट कर दिया जाता है है तो दोलन अवमंदित हो जाते है|प्रत्येक दोलन में कुछ ऊर्जा प्रतिरोध में क्षय होती है|अतः कुछ समय पश्चात सम्पूर्ण प्रारंभिक ऊष्मा के रूप में क्षय हो जाती है|