एक श्रेणीबद्ध LCR परिपथ को जिसमें L = 0.12 H, C= `480 nF R = 23 Omega `, 230 वोल्ट परिवर्ती आवृत्ति वाले स्रोत से जोड़ा गया है।
(a) स्रोत की वह आवृत्ति कितनी है, जिस पर धारा आयाम अधिकतम है? इस अधिकतम मान को निकालिए।
(b) स्रोत की वह आवृत्ति कितनी है, जिसके लिए परिपथ द्वारा अवशोषित माध्य शक्ति अधिकतम है?
(c) स्त्रोत की किस आवृति के लिए परिपथ को स्थानांतरित शक्ति अनुनादी आवृति की शक्ति की आधी है ?
(d) दिए गए परिपथ के लिए Q कारक कितना है ?

Explanation

दिया है : ` L = 0.12 H , C = 480 nF`,
R = `23 Omega, V_ (rms ) = 230 ` वाल्ट
(a) धारा आयाम, ` i _ 0 = ( V_ 0 ) /( Z) = (V_0 ) /( sqrt ( R ^ 2 + ( X _ L - X _ C) ^ 2 ) `
स्पष्टतः धारा आयाम अधिकतम है, यदि ` X _ L = X_ C `
` omega L = ( 1 )/ ( omega C ) rArr omega = ( 1 ) /( sqrt ( LC )) `
`" " ` ( यह अनुनादी आवृत्ति है )
अनुनादी आवृत्ति ` oemga _ r = ( 1 ) /( sqrt ( LC) ) = ( 1 ) /( sqrt ( 0.12 xx 480 xx 10 ^ ( - 9) ) ) `
` = 4.167 xx 10 ^( 3 ) ` rad ` s ^( - 1 ) `
अनुनादी रेखीय आवृत्ति ,
` f _ r = ( omega _ r ) / ( 2 pi ) = ( 4.167 xx 10 ^( 3 ))/( 2 xx 3.14 ) = 663 ` हर्ट्ज
अनुनादी आवृतित पर प्रतिबाधा ,` Z = R = 23 Omega `
धारा का अधिकतम मान,
` i _ 0 = ( V _ 0 ) / ( R ) = ( V _ ( rms ) sqrt 2 ) /( R ) `
` = ( 230 xx 1.41 ) /( 23 ) = 14.1 ` ऐम्पियर
(b) औसत शक्ति , ` bar P = V_ (rms ) i _ ( rms ) cos phi `
अधिकतम शक्ति के लिए `, cos phi = + 1 `
` therefore P _ ( max ) = V _ ( rms ) i _ ( rms ) = V _ ( rms ) ( ( V _ ( rms ))/ ( R)) `
` = ( V _ (rms ) ""^ 2) /( R ) = ( ( 230 )^ 2 ) /( 23 ) = 2300 ` वाट|
(c) अवशोषित शक्ति `, P = ( 1 ) /( 2 ) xx ` अधिकतम शक्ति
अथवा ` i ^ 2 R= ( 1 ) /( 2) i _ 0 ^ 2 R ` अथवा ` i = ( i _ 0 ) /( sqrt2 ) `
अथवा ` ( V_ ( rms ) ) /( sqrt ( R^ 2 + ( ( 1 ) / ( omega C ) - omega L )^ 2 ) ) = ( 1 ) /( sqrt 2 ) ( V _ ( rms ) ) /( R ) `
अथवा ` R^ 2 + (( 1 ) /( omega C ) - omega L ) ^ 2 = 2 R^ 2 `
अथवा ` ( 1 ) / ( omega C ) - omega L = pm R `
यदि ` omega _ 1 lt omega _ r `, तो ` ( 1 ) /( omega _ 1 C ) - omega _ 1 L = + R" " `..(i)
यदि ` omega _ 2 gt omega _ r , ` तो ` ( 1 ) /( omega _ 2 C ) - omega _ 2 L = - R " " `...(ii)
समीकरणों (i ) व (ii ) को जोड़ने पर,
` ( 1) / (C) ( ( 1 ) / ( omega _ 1 ) + ( 1 ) / ( omega _ 2 ) ) - ( omega _ 1 + omega _ 2 ) L = 0 rArr omega _ 1 omega _ 2 = ( 1 ) /( LC) `
चूँकि ` omega _ r^ 2 = ( 1 ) /( LC) `
` rArr omega _ r = sqrt ( omega _ 1 omega _ 2 ) = (1 ) /( sqrt ( LC ) ` = अनुनादी आवृत्ति
समीकरण (ii ) को (i ) में से घटाने पर ,
` ( ( 1 ) / ( omega _ 1 ) - ( 1 ) /( omega _ 2 )) * ( 1 )/( C) + ( omega _2 - omega _ 1 ) L = 2R `
` rArr ( omega _ 2 - omega _ 1 ) / ( omega _ 1 omega _ 2 ) *(1 ) /( C) + ( omega _ 2 - omega _ 1 ) L = 2 R `
चूँकि ` omega _ 1 omega _ 2 = ( 1 ) /( LC) `
` 2 ( omega _ 2 - omega _ 1 ) L = 2 R rArr omega _ 2 - omega _ 1 = ( R ) /( L ) `
यदि ` omega _ 1 ` व ` omega _ 2 ` का ` omega _ r ` से अंतर ` Delta omega ` हो, तो
` ( omega _ r + Delta omega ) - ( omega _ r - Delta omega ) = ( R) / ( L) `
अथवा ` 2Delta omega = ( R) /( L ) `
अथवा ` Delta omega = (R) /(2 L ) = ( 23 ) / ( 2 xx 0.12 ) = 95.8 rad s^( -1 ) `
` Delta f = ( Delta omega ) /( 2 pi ) = ( 95.8 ) /( 2 xx 3.14 ) = 15.2 ` हर्ट्ज
` f _ 1 = f _ r - Delta f = 663 - 15.2 = 647.8 ` हर्ट्ज
` therefore f _ 2 = f _ r + Delta f = 663 + 15.2 = 678.2 ` हर्ट्ज
इस प्रकार, अवशोषित शक्ति, 647.8 हर्ट्ज तथा 678.2 हर्ट्ज आवृत्तियों पर अनुनादी पर अवशोषित शक्ति की आधी होगी |
(d) दिए गए परिपथ का Q - करक,
` Q = ( omega _ r L ) /( R) = ( 4.167xx 10 ^ 3 xx 0.12 ) /(23) = 21.7 `